Question

Uma bola foi lançada e teve como trajetória a parábola da função f(x) = -x.x + 4x, em que f(x) representa a altura alcançada e x a distância percorrida horizontalmente.Quando a bola estiver a uma altura de 2m na descida, qual é a distância que ela terá percorrido? Utilize Raiz de 2=1,4.

Answer 1

A distância que ela terá percorrido é 3,4 metros.

Inicialmente, vamos substituir o valor referente a altura da bola de 2 metros, para determinar a distância que ela terá percorrido nesse instante de tempo. Utilizando a equação fornecida, obtemos a seguinte expressão:

$f(x)=-x^2+4x\\ \\ 2=-x^2+4x\\ \\ x^2-4x+2=0$

Veja que temos uma equação de segundo grau. Para encontrar suas raízes e, consequentemente a distância percorrida pela bola, devemos utilizar o método de Bhaskara.

$\Delta=(-4)^2-4\times 1\times 2=8\\ \\ x_1=\frac{4+\sqrt{8}}{2\times 1}=\frac{4+2\sqrt{2}}{2\times 1}=\frac{4+2\times 1,4}{2\times 1}=3,4 \ m\\ \\ x_2=\frac{4-\sqrt{8}}{2\times 1}=\frac{4-2\sqrt{2}}{2\times 1}=\frac{4-2\times 1,4}{2\times 1}=0,6 \ m$

Note que temos duas raízes. Contudo, o enunciado pede a distância percorrida na descida da bola. Desse modo, temos que adotar o maior valor entre as duas raízes.

Answer 2

✅ Função quadrática:

Dizemos que uma função é quadrática (função do segundo grau) quando o maior grau verificado dentre seus termos for "2".

Se nos foi dado a seguinte função:

1ª          $\large\displaystyle\begin{gathered}f(x) = -x\cdot x + 4x \end{gathered}$

Que pode ser organizada da seguinte forma:

2ª             $\large\displaystyle\begin{gathered}f(x) = -x^{2} + 4x \end{gathered}$

Se:

               $\large\displaystyle\begin{gathered}f(x) = altura \end{gathered}$

                     $\large\displaystyle\begin{gathered}x = dist\hat{a}ncia \end{gathered}$

Para calcularmos a distância que a bola percorreu para a altura de 2 metros NA DESCIDA devemos substituir "f(x)" por 2 na 2ª equação e tomar o maior valor dos dois valores que serão obtidos. Então, temos:

                    $\large\displaystyle\begin{gathered}2 = -x^{2} + 4x \end{gathered}$

 $\large\displaystyle\begin{gathered}x^{2} - 4x + 2 = 0 \end{gathered}$

Chegamos a uma equação do segundo grau cujos coeficientes são:              

                $\large\begin{cases}a = 1\\b = -4\\c = 2 \end{cases}$

Calculando o valor do delta, temos:

          $\large\displaystyle\begin{gathered}\Delta = b^{2} - 4\cdot a\cdot c \end{gathered}$

               $\large\displaystyle\begin{gathered}= (-4)^{2} - 4\cdot1\cdot2 \end{gathered}$

               $\large\displaystyle\begin{gathered}= 16 - 8 \end{gathered}$

               $\large\displaystyle\begin{gathered}= 8 \end{gathered}$

Aplicando a fórmula de Bhaskara, temos:

           $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta} }{2\cdot a} \end{gathered} }$

               $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{-(-4)\pm\sqrt{8} }{2\cdot1} \end{gathered} }$

               $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{4\pm2\sqrt{2} }{2} \end{gathered} }$

              $\large\displaystyle\begin{gathered}= 2\pm\sqrt{2} \end{gathered}$

Portanto, para a altura de "2 m" temos dois valores para o distância percorrida que são:

           $\large\displaystyle\begin{gathered}x = 2\pm\sqrt{2} \end{gathered}$

Como  queremos a distância quando a altura DE DESCIDA for 2 metros, então o valor procurado é:

            $\large\displaystyle\begin{gathered}x = 2 + \sqrt{2} \end{gathered}$

Se, para a questão dada:

              $\large\displaystyle\begin{gathered} \sqrt{2} = 1,4 \end{gathered}$

Então:

     $\large\displaystyle\begin{gathered}x = 2 + 1,4 = 3,4\:m \end{gathered}$

✅ Portanto, a distância horizontal que a bola percorreu até chegar a altura de 2 metros na descida foi:

       x = 3,4 m

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Solução gráfica: