Question

O gráfico abaixo representa lucro y, em Reais, de uma
empresa em função do número x de produtos produzidos
diariamente.


Com base no gráfico, responda:
a) Qual deve ser a quantidade mínima deve ser produzida
para não haver prejuízo?
b) Qual o lucro máximo que a empresa pode obter?
c) Se a empresa deseja manter sua lucratividade ao
máximo, quantos produtos devem ser produzidos por dia?
d) Qual a expressão matemática para a função y?

Answer 1

a) 20 produtos

b) 200 reais

c) 40 produtos

d) y = - x²/2 + 40x - 600

a) Para não haver prejuízo, o lucro deve ser no mínimo igual a zero.

Então, temos que encontrar o ponto do gráfico em que o valor de y = 0.

É o ponto em que x = 20.

Portanto, a quantidade mínima que deve ser produzida é de 20 produtos.

b) O lucro máximo é o valor correspondente ao ponto máximo da parábola, no caso, é o ponto y = 200.

Portanto, o lucro máximo é de R$ 200,00.

c) Procuremos no gráfico o valor de x que corresponde a y = 200.

É o ponto x = 40.

Portanto, a empresa deve produzir 40 produtos por dia para ter lucro máximo.

d) Como é uma parábola, trata-se de uma função do 2° grau.

Sua fórmula é:

y = ax² + bx + c

Temos que achar o valor dos coeficientes a, b e c.

Quando x = 20, temos y = 0.

Quando x = 40, temos y = 200.

0 = a.20² + b.20 + c     ⇒ 400a + 20b + c = 0

200 = a.40² + b.40 + c ⇒ 1600a + 40b + c = 200

{400a + 20b + c = 0 ----> ·(-1)

{1600a + 40b + c = 200

{- 400a - 20b - c = 0

{1600a + 40b + c = 200 +

1200a + 20b = 200

Dividindo tudo por 20, temos:

60a + b = 10  (I)

Pelo Xv, temos:

Xv = - b

         2a

40 = - b

        2a

- b = 80a

b = - 80a  (II)

Substituindo (II) em (I), temos:

60a + b = 10

60a + (- 80a) = 10

- 20a = 10

a = - 10/20

a = - 1/2

Então, o valor de b é:

b = - 80a

b = - 80.(-1/2)

b = 80/2

b = 40

E o valor de c é:

400a + 20b + c = 0

400.(-1/2) + 20.40 + c = 0

- 200 + 800 + c = 0

600 + c = 0

c = - 600

Portanto, a função é:

y = - x²/2 + 40x - 600