Question

O Polígono ABCDEF é um hexágono regular. Os pontos M e N são pontos médios dos lados AF e BC, respectivamente. O hexágono ABNGHM é simétrico em relação à reta que passo por M e N. Qual a razão entre as áreas dos Hexágonos ABNGHM e ABCDEF?

Answer 1

Inicialmente, para facilitar a notação, vamos chamar ao hexágono ABCDE de hexágono 1 e ao hexágono ABNGHM de hexágono 2, para facilitar a notação. Também vamos chamar ao centro do hexágono 1 de O.
Os pontos G e H, simétricos de B e A com relação à reta que contém os pontos M e N pertencem à diagonal CF do hexágono 1.
O hexágono 1 é formado por 6 triângulo equiláteros:
AOB, BOC, COD, DOE, EOF e FOA (1)
O hexágono 2 é formado por 3 triângulos equiláteros:
AOB, BOC e FOA, menos os triângulos, menores, também equiláteros, NCG e MHF.
O triângulo NCG é igual à quarta parte do triângulo BOC, assim como o triângulo MHF é igual à quarta parte do triângulo FOA.
Assim, a soma dos triângulos NCG e MHF é igual à metade de um dos triângulos que formam os dois hexágonos (1).
Então, concluímos que o hexágono 2 é formado por 3 triângulos equiláteros menos meio triângulo, ou seja, é formado por 2 triângulos e meio (2,5).
Então, temos:

Hexágono 2 = 2,5 (triângulos)
Hexágono 1 = 6 (triângulos)

Razão entre o hexágono 2 (ABNGHM) e o hexágono 1 (ABCDEF):

2,5 / 6

Answer 2

Resposta:

Explicação passo a passo:

Perceba que o hexágono maior possui ao todo 24 triângulos amarelos.

E o hexágono menor só possui 10.

Então a razão do menor para o maior é: 5/12