Question

O método de Newton é um método numérico conhecido por ter uma ótima velocidade de convergência. Utilizando o método de Newton com 3 iterações, calcule a aproximação para a raiz da função y = 5x³ + x² - 12x + 4, utilizando como aproximante inicial x = 1.

0.3646073
1.2270208
1.2574257
1.4
1.5


Me ajudem por favor!

Answer 1

Resolução: calcule a derivada de f(x), faça n iterações, sendo a primeira com o x do enunciado, aplicando a fórmula do método de newton.

No método numérico de Newton, a cada iteração atualiza-se o valor de x da seguinte forma:

$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}, ~ n \in \mathbb{N}$

Logo, conforme a fórmula, é necessário inicialmente derivar a função. Para derivar f(x), basta aplicar a regra de derivação da potência*:

$f(x) = 5x^3 + x^2 - 12x+4 \\ \\\boxed{f'(x) = 15x^2 + 2x - 12}$

* Regra da derivada da potência:

$f(x) = ax^n ~~~~ \to f'(x) = na \cdot x^{n-1}$

Segundo enunciado, tem-se inicialmente x = 1, e deve-se aplicar o método 3 vezes (iterações). Portanto, a primeira iteração:

$f(x_0) = f(1) = 5 \cdot 1^3 + 1^2 - 12 \cdot 1 + 4 = -2 \\ \\f'(x_0) = f'(1) = 15 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 -12 = 5 \\ \\x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} \\ \\x_1 = 1 + \frac{2}{5} \\ \\\boxed{x_1 = 1,4}$

Demais iterações:

$f(x_1) = f(1,4) = 5 \cdot (1,4)^3 + (1,4)^2 - 12 \cdot (1,4) + 4 =2,88\\ \\f'(x_1) = f'(1,4) = 15 \cdot (1,4)^2 + 2 \cdot (1,4)-12 = 20,2 \\ \\x_2 = x_1 - \frac{f(x_1)}{f'(x_1)} \\ \\x_2 = 1,4 - \frac{2,88}{20,2} \\ \\\boxed{x_2 = 1.2574}$

$f(x_2) = f(1,2574) = 5 \cdot (1,2574)^3 + (1,2574)^2 - 12 \cdot (1,2574) + 4 = 0,4323 \\ \\f'(x_2) = f'(1,2574) = 15 \cdot (1,2574)^2 + 2 \cdot (1,2574)-12 = 14,2306 \\ \\x_3 = x_2 - \frac{f(x_2)}{f'(x_2)} \\ \\x_3=1,2574-\frac{0,4323}{14,2306} \\ \\\boxed{\boxed{x_3 = 1,2270}}$

Portanto, uma boa aproximação para a raiz da função é x = 1,2270, com três iterações do Método de Newton-Raphson.

Link para perguntas relacionadas: https://brainly.com.br/tarefa/22692345.