Question

Determine o valor Real de p de modo que o gráfico da função f(x)=x²+2x+p-2:
a) cruze o eixo x em dois pontos;
b) tangenciar o eixo x;
c) não encontre o eixo x.​

Answer 1

Utilizando definições de raízes de funções do segundo ngrau temos que:

a) p<3.

b) p=3.

c) p>3.

Explicação passo-a-passo:

Os pontos onde uma função cruza o eixo x são as suas raízes, no caso de uma função do segundo grau, o que diz se ela tem raízes ou não é o Δ:

Se Δ>0, então ela possui duas raízes reais.

Se Δ=0, então ela tem somente uma raíz real (Ou seja, tangencia o eixo x).

Se Δ<0, então não tem raízes reais.

E este Δ é dado por:

$\Delta=b^2-4ac$

De uma função do segundo grau do tipo:

$f(x)=ax^2+bx+c$

No nosso caso a função do segundo grau é:

$f(x)=x^2+2x+p-2$

Então temos que:

a=1

b=2

c=p-2

Então vamos calcular o Δ:

$\Delta=2^2-4.1.(p-2)$

$\Delta=4-4(p-2)$

$\Delta=4-4p+8$

$\Delta=12-4p$

Agora vamos a perguntas:

a) Para cruzar o eixo x em dois pontos.

Para isto Δ>0, então:

$\Delta=12-4p>0$

$-4p>-12$

$4p<12$

$p<3$

Para isto, então p<3.

b) Para cruzar o eixo x em exatamente 1 ponto, ou seja, tangenciar.

Para isto, então Δ=0:

$\Delta=12-4p=0$

$-4p=-12$

$4p=12$

$p=3$

Então p=3.

c) Para não encostar no eixo x.

Então Δ<0:

$\Delta=12-4p<0$

$-4p<-12$

$4p>12$

$p>3$

Então nesta caso p>3.