Question

Euler descreveu uma forma para seno e cosseno de um ângulo, é possível encaixar esses valores na forma trigonométrica dos números complexos ?
Forma trigonométrica dos complexos:
$z = \gamma .cis \beta$
Forma seno de Euler:
$seno( \beta ) = \frac{ {e}^{x.i} - {e}^{ - x.i} }{2i}$
Forma cosseno de Euler:
$cosseno( \beta ) = \frac{ {e}^{x.i} + {e}^{ - x.i} }{2}$
​

Answer 1

Olá Kaio!

Resposta:

$\boxed{\mathtt{Sim}}$

Explicação passo-a-passo:

Dado o Número Complexo $\displaystyle \mathtt{z = a + bi}$. Sabemos que sua forma trigonométrica é dada por:

$\\ \displaystyle \mathsf{z = |z| \cdot \left ( \cos \theta + i \cdot \sin \theta\right )} \\\\ \boxed{\mathsf{z = |z| \cdot \textsf{cis} \, \theta}}$

Ademais, temos a Fórmula de Euler, veja:

$\\ \displaystyle \mathsf{e^{i\theta} = \cos \theta + i \cdot \sin \theta} \\\\ \boxed{\mathsf{e^{i\theta} = cis \, \theta}}$

Portanto,

$\\ \displaystyle \mathsf{z = |z| \cdot cis \, \theta} \\\\ \mathsf{z = |z| \cdot \left ( \cos \theta + i \cdot \sin \theta \right )} \\\\ \mathsf{z = |z| \cdot \left ( \frac{e^{\theta i} + e^{- \theta i}}{2} + i \cdot \frac{e^{\theta i} - e^{- \theta i}}{2i}\right )} \\\\\\ \mathsf{z = |z| \cdot \left ( \frac{e^{\theta i} + e^{- \theta i}}{2} + \frac{e^{\theta i} - e^{- \theta i}}{2}\right )} \\\\\\ \mathsf{z = |z| \cdot \frac{2e^{\theta i}}{2}} \\\\ \boxed{\mathsf{z = |z| \cdot e^{\theta i}}}}$

Que é denominada forma exponencial de um número complexo!

Answer 2

Sim

Explicação passo-a-passo:

Dado o Número Complexo \displaystyle \mathtt{z = a + bi}z=a+bi . Sabemos que sua forma trigonométrica é dada por:

\begin{gathered}\\ \displaystyle \mathsf{z = |z| \

cdot \left ( \cos \theta + i \cdot \sin \theta\right )} \\\\ \boxed{\mathsf{z = |z| \cdot \textsf{cis} \, \theta}}\end{gathered}z=∣z∣⋅(cosθ+i⋅sinθ)z=∣z∣⋅cisθ

Ademais, temos a Fórmula de Euler, veja:

\begin{gathered}\\ \displaystyle \mathsf{e^{i\theta} = \cos \theta + i \cdot \sin \theta} \\\\ \boxed{\mathsf{e^{i\theta} = cis \, \theta}}\end{gathered}eiθ=cosθ+i⋅sinθeiθ=cisθ

Portanto,

\begin{gathered}\\ \displaystyle \mathsf{z = |z| \cdot cis \, \theta} \\\\ \mathsf{z = |z| \cdot \left ( \cos \theta + i \cdot \sin \theta \right )} \\\\ \mathsf{z = |z| \cdot \left ( \frac{e^{\theta i} + e^{- \theta i}}{2} + i \cdot \frac{e^{\theta i} - e^{- \theta i}}{2i}\right )} \\\\\\ \mathsf{z = |z| \cdot \left ( \frac{e^{\theta i} + e^{- \theta i}}{2} + \frac{e^{\theta i} - e^{- \theta i}}{2}\right )} \\\\\\ \mathsf{z = |z| \cdot \frac{2e^{\theta i}}{2}} \\\\ \boxed{\mathsf{z = |z| \cdot e^{\theta i}}}}\end{gathered}

Que é denominada forma exponencial de um número complexo!