Question

14) Considere o quadrilátero de vértices A(3,4). :-
B(-7,7), ((-5,-2) e D(2-6). Determine a
equação da reta que passa:
a) pelos pontos médios dos lados AB e BC
3x - 4y + 28 = 0
b) pelos pontos A e D 10x - .-26=0
c) pelo ponto C e pelo ponto médio do lado AD
-x +10=0
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Answer 1

As equações das retas são: a) 3x - 4y + 28 = 0, b) 10x - y - 26 = 0, c) x - 15y/2 - 10 = 0.

a) Vamos determinar o ponto médio do lado AB e do lado BC.

Para isso, basta somar os pontos extremos e dividir por 2.

Assim:

2M' = A + B

2M' = (3,4) + (-7,7)

2M' = (3 - 7, 4 + 7)

2M' = (-4, 11)

M' = (-2,11/2)

e

2M'' = B + C

2M'' = (-7,7) + (-5,-2)

2M'' = (-7 - 5, 7 - 2)

2M'' = (-12, 5)

M'' = (-6,5/2).

A equação de uma reta é da forma y = ax + b. Vamos substituir os pontos encontrados acima nessa equação. Assim, obtemos um sistema:

{-2a + b = 11/2

{-6a + b = 5/2.

Da primeira equação, podemos dizer que b = 2a + 11/2. Substituindo o valor de b na segunda equação:

-6a + 2a + 11/2 = 5/2

-4a = 5/2 - 11/2

-4a = -6/2

-4a = -3

a = 3/4.

Logo:

b = 3/2 + 11/2

b = 14/2

b = 7.

Portanto, a equação da reta é:

y = 3x/4 + 7

4y = 3x + 28

3x - 4y + 28 = 0.

b) Substituindo os pontos A e D na equação y = ax + b:

{3a + b = 4

{2a + b = -6.

Da primeira equação, temos que b = -3a + 4. Substituindo o valor de b na segunda equação:

2a - 3a + 4 = -6

-a = -6 - 4

-a = -10

a = 10.

Assim:

b = -30 + 4

b = -26.

A equação da reta é:

y = 10x - 26

10x - y - 26 = 0.

c) O ponto médio de AD é:

2M = A + D

2M = (3,4) + (2,-6)

2M = (3 + 2, 4 - 6)

2M = (5, -2)

M = (5/2,-1).

Substituindo os pontos M e C em y = ax + b:

{5a/2 + b = -1

{-5a + b = -2

Da segunda equação, temos que b = 5a - 2. Substituindo o valor de b na primeira equação:

5a/2 + 5a - 2 = -1

5a/2 + 5a = 1

5a + 10a = 2

15a = 2

a = 2/15.

Logo:

b = 10/15 - 2

b = -20/15

A equação da reta é:

y = 2x/15 - 20/15

15y = 2x - 20

2x - 15y - 20 = 0

x - 15y/2 - 10 = 0.