Respostas
Resposta:
Explicação passo-a-passo:
Primeiramente deve-se desmembrar a tangente em sen2x/cos2x , entao voltar e substituir esse valor na equaçao original :
Cos2x - (sen2x/cos2x)cos2x = 1
Ao se fazer o "chuveirinho" você ira ter (cos2x.sen2x/cos2x) , podendo então eliminar o cos2x sobrando :
Cos2x - Sen2x = 1
Uma saída mais fácil e elevar o dois lados ao quadrado , ficando :
Cos2x*2 -2sen2xcos2x + sen2x*2 =1
Utilizando-se a relação fundamental tem-se que cos2x*2 + sen2x*2 = 1 , portando sobra :
-2sen2xcos2x + 1 = 1
2sen2xcos2x = 0
Relembrando soma de arcos :
Sen(a + a) = senacosa + senacosa
= 2senacosa. Portanto
2sen2xcos2x = Sen(4x) , tendo
Sen(4x)=0 e Sen(Y)=0 quando Y=0 ou Y=180 e uma multiplicação é igual a zero quando um dos valores é 0 , portanto x=0 e tem-se tb :
180=4x ➡ x = 45
Portanto : S=(0 e 45)
Resposta: S = {x é Real: x = kpi, k inteiro}
Explicação passo-a-passo:
— Primeira Resolução
cos²(x) - tg²(x)cos²(x) = 1 =>
cos²(x)* [1 - tg²(x)] = 1 (i)
* cos²(x) difere de 0, o que acarreta x diferente de pi/2 + kpi, k inteiro. Logo, cos²(x) = 1/sec²(x) = 1/[1 + tg²(x)] (ii)
Substituindo (ii) em (i), temos:
[1 - tg²(x)]/[1 + tg²(x)] ** = 1
** Também é sabido que cos(2x) = [1 - tg²(x)]/[1 + tg²(x)], para todo x real e diferente de pi/2 + kpi, k inteiro. Sabe-se que, no exercício proposto, x jamais será pi/2 + kpi (k inteiro), pois o próprio enunciado garante a não-nulidade de cos(x) (cos(x) jamais será zero).
Logo:
[1 - tg²(x)]/[1 + tg²(x)] = 1 =>
cos(2x) = 1 =>
2x = 2kpi, k inteiro =>
x = kpi, k inteiro =>
S = {x é Real: x = kpi, k inteiro}
— Segunda Resolução
cos²(x) - tg²(x)cos²(x) = 1 =>
cos²(x) - [sen²(x)/cos²(x)] *cos²(x) = 1 =>
* Nos foi informado que cos(x) difere de zero, o que acarreta cos²(x) também não nulo. tg²(x) = sen²(x)/cos²(x), para todo x real e distinto de pi/2 + kpi, k inteiro. Como sabemos, x jamais será pi/2 + kpi (k é número inteiro), logo tg²(x) poderá ser escrita como sen²(x)/cos²(x) e cos²(x) pode ser convenientemente dividido por ele próprio (podemos, sem preocupação, “cortar” cos²(x) com cos²(x))
Acarretando:
cos²(x) - sen²(x) = 1 =>
cos(x)cos(x) - sen(x)sen(x) = 1 =>
cos(x + x) = 1 =>
cos(2x) = 1 =>
2x = 2kpi, k inteiro =>
x = kpi, k inteiro =>
S = {x é Real: x = kpi, k inteiro}
— Terceira resolução
cos²(x) - cos²(x)tg²(x) = sen²(x) + cos²(x) * =>
* sen²(x) + cos²(x) = 1, para todo x real. Tal relação é conhecida como Relação Trigonométrica Fundamental.
sen²(x) = - sen²(x)[cos²(x)/cos²(x)] ** =>
** cos(x) não é zero, logo podemos simplificar a expressão.
sen²(x) = - sen²(x) =>
sen²(x) + sen²(x) = sen²(x) - sen²(x) =>
2sen²(x) = 0 =>
sen²(x) = 0 =>
|sen(x)| = 0 =>
sen(x) = 0 =>
x = kpi, k inteiro =>
S = {x é Real: x = kpi, k inteiro}
Abraços!