Question

Na figura ABCD um quadrado de lado a=3. Tomando-se E e G nos prolongamentos da diagonal AC e F eH nos prolongamentos da diagonal BD, com EA=Ac=CG e FB=BD=DH, determine a área do octógono AFBGCHDE

Answer 1

A área do Octógono é de Atotal = 3a²

Primeiro considere o triângulo isósceles (hachurado), de medidas a,x e x.

Note que o valor de x corresponde a base dos triângulos maiores; logo, vamos calcular o valor de x (em função de a) aplicando o teorema de Pitágoras:

a² = x² + x² >>> a² = 2x² >> x² = a²/2 >> x = a/√2

Sabendo que o valor de x, podemos verificar as demais medidas dos triângulos maiores.

Para descobrir a altura do triângulo, então voltaremos para o enunciado que diz que DB=DH, por exemplo. Portanto, a altura do triângulo é o triplo de sua base.

Como x = a/√2, a base do triângulo é igual a a/√2 e a altura é 3a/√2. Por fim a área de cada triângulo é dada por: Atriangulo = base x altura/2 =  

a/√2 x 3a/√2/2 = 3a²/2/2 = 3a²/4

e a área do octógono é igual a =  

Atotal = 4x3a²/4 = 3a²

espero ter ajudado nos estudos, bom dia :)