Question

URGENTE: Resolva em IR, as equações abaixo, transformando o primeiro membro em um trinômio quadrado perfeito.

a) x²-14x= -45

b) x²+10x= 24

c) t²+2t= 8

d) y²-8y= 9


me ajudem por favor

Answer 1

a) $x^2-14x= -45$ resulta em

$x^2-14x+49=4$ resulta em

b) $x^2+10x= 24$ resulta em

$x^2+10x+25= 49$

c) $t^2+2t= 8$ resulta em

$t^2+2t+1= 9$

d) $y^2-8y= 9$ resulta em

$y^2-8y+16=25$

Uma equação de segundo grau pode ser resolvido de algumas maneiras distintas.

Pela fórmula de Bhaskara,

Por fatoração

Pelo método de completar quadrado.

O método de completar quadrado consiste em completar o trinomio quadrado perfeito na equação.

Veremos como ele funciona ao resolver os problemas a seguir.

Sejam então as equações dadas:

a) $x^2-14x= -45$

b) $x^2+10x= 24$

c) $t^2+2t= 8$

d) $y^2-8y= 9$

Vamos resolver transformando o lado esquerdo da igualdade em um trinomio quadrado perfeito

a) $x^2-14x= -45$

Note que $14x = 2\times7x$

Entao podemos escrever

$x^2-2\times7x= -45$

Agora vem o truque!

Se a gente tivesse $(x-7)^2$, a gente poderia expandir e obter este trinomio quadrado perfeito:

$(x-7)^2=x^2-2\times7x+49$

Repare agora que se passarmos $49$ para o outro lado da equação, teremos

(eq1) $(x-7)^2-49=x^2-2\times7x$

E agora compare isto com

(eq2) $x^2-2\times7x= -45$

O lado direito da (eq1) é igual ao lado esquerdo da (eq2). Portanto as duas equacoes são iguais e podemos fazer a seguinte transformação :

$x^2-2\times7x= -45\\\\(x-7)^2-49=-45$

Passando agora o $- 49$ para o outro lado da igualdade, teremos

$(x-7)^2=-45+49\\\\(x-7)^2=4$

Expandindo o lado esquerdo, teremos o trinomio quadrado perfeito

$(x-7)^2=4\\\\x^2-14x+49=4$

Nos problemas seguintes, o método é aplicado da mesma forma.

b) $x^2+10x= 24$

Note que $x^2+10x=x^2+2\times5x$

Entao teremos o trinomio $(x+5)^2=x^2+10x+25$

Assim, a equação $x^2+10x= 24$ fica

$x^2+10x+25-25= 24\\\\</p><p>x^2+10x+25= 49$

(note que eu pulei a etapa de escrever $(x+5)^2-25= 24$ e já coloquei o trinomio expandido).

c) $t^2+2t= 8$

Note que $t^2+2t=t^2+2\times1t$

Entao teremos o trinomio $(t+1)^2=t^2+2t+1$

Substituindo este trinomio na equação $t^2+2t= 8$ teremos

$t^2+2t+1-1= 8\\\\</p><p>t^2+2t+1= 9$

d) $y^2-8y= 9$

Note que $y^2-8y=y^2-2\times4y$

Entao teremos o trinomio $(y-4)^2=y^2-8y+16$

Substituindo este trinomio na equação $y^2-8y=9$ teremos

$y^2-8y+16-16=9\\\\</p><p>y^2-8y+16=25$