Question

Seja a equação diferencial y'' - 2y' + y = 0. Verifique se as funções abaixo satisfazem essa EDO.

$I.\:\:y(x) = e^{-x}$
$II.\:\:y(x) = xe^x$
$III.\:\:y(x) = e^x$
$IV.\:\:y(x) = x^2$

Identifique as afirmativas que são soluções da equação diferencial dada.

Alternativas:

1) I e II apenas.
2) I e IV apenas.
3) II e III apenas.
4) I, II e IV apenas.
5) I, II, III e IV.

Answer 1

Com cada item (I; II; III e IV) vamos fazer o que está apresentado na Eq. Diferencial, ou seja, Y'' - 2Y' + Y = 0

I

Y = $\mathbf{e^{-x} }$

Lembremos que se Y = $\mathbf{e^{u}}$, entao Y' = $\mathbf{u'\cdot e^{u}}$

aplicando........

Y' = $\mathbf{-e^{-x}}$

Y'' = $\mathbf{e^{-x}}$

Entao

Y'' - 2Y' + Y = 0

$\mathbf{e^{-x}-2(-e^{-x})+e^{-x}}$

$\mathbf{e^{-x}+2e^{-x}+e^{-x}}$

$\mathbf{4e^{-x}\neq 0}$

II

Y = $\boldsymbol{x\cdot e^{x}}$

Sabemos que

$\left(f\cdot g\right)'=f\:'\cdot g+f\cdot g'$

Y' = $1\cdot \:e^x+x\cdot e^x$

Y'' (aplicando $\left(f\pm g\right)'=f\:'\pm g'$

Y'' = $\mathbf{(e^{x})' + (x\cdot e^{x})'}$

Y'' = $\mathbf{e^x+1\cdot e^x+x\cdot e^x}$

Y'' = $\mathbf{2e^x+x\cdot e^x}$

Entao

Y'' - 2Y' + Y = 0

$\mathbf{2e^x+xe^x - 2\cdot (e^{x}+xe^{x})+xe^{x}}$

$\mathbf{2e^x+xe^x - 2e^{x}-2xe^{x}+xe^{x}}$

$\mathbf{2e^x-2e^x+xe^x+xe^x-2xe^{x}} = 0$

III

Y = $\boldsymbol{e^{x}}$

Sabemos que $\boldsymbol{(e^{x})'= e^{x}}$

Y' = $\boldsymbol{e^{x}}$

Y'' = $\boldsymbol{e^{x}}$

Entao

Y'' - 2Y' + Y = 0

$\mathbf{e^{x}-2e^{x}+e^{x}}$

$\mathbf{2e^{x}-2e^{x}=0}$

IV

Y = X²

Sabemos que (Xⁿ)' = nXⁿ⁻¹

Y' = 2X²⁻¹ ⇒ Y' = 2X

Y'' = (2X)' = 2.1X¹⁻¹ ⇒ Y'' = 2

Como

Y'' - 2Y' + Y = 0

2 - 2.2X + X²

X² - 4X + 2 ≠ 0

Logo II e III sao verdadeiras