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um poliedro convexo regular A é obtido unindo-se os centros das faces adjacentes de outro poliedro convexo B. Se um deles tem o numero de arestas igual ao dobro do mumero de vertices, o outro poliedro é
(A) Tetraedro regular
(B) Hexaedro regular
(C) Octaedro regular
(D) Dodecaedro regular
(E) Icosaedro regular
Respostas
Letra B) Hexaedro regular, também conhecido como cubo.
Os poliedros convexo regulares, também conhecidos como sólidos platônicos são figuras tridimensionais cuja as faces são poligonos regulares.
Segue a relação dos sólidos platônicos, seu número de lados, vértices e arestas.
O tetraedro é uma pirâmide formada por 4 triângulos equilátero, 4 vértices e 6 arestas.
O hexaedro é o cubo que é formado por 6 quadrados, 8 vértices e 12 arestas
O octaedro é formado por 8 triângulos equilateros, 6 vértices e 12 arestas
O dodecaedro é formado por 12 pentágono regulares, 20 vértices e 30 arestas
O icosaedro é formado por 20 triângulos equiláteros, 12 vértices e 30 lados.
Existe uma relação entre poliedros chamada de dualidade que é quando as faces de um poliedro correspondem aos vértices de outro. Isto é, ao pegar dois poliedros duais e colocar um deles dentro do outro, os vértices de um estará no centro das faces do outro. Esta relação é recíproca.
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O problema diz que obtemos o poliedro A a partir do centro das faces do poliedro B.
Como poliedros convexo são figuras fechadas, temos que o poliedro A está dentro do poliedro B e que cada vértice de A está no centro de uma das faces do poliedro B.
Como a relação de dualidade é recíproca, podemos assumir que B é o poliedro que tem o numero de arestas igual ao dobro do número de vértices.
Olhando os poliedros listados acima, vemos que B é o octaedro.
Os vértices do octaedro equivalem às faces do poliedro dual.
Como o octaedro tem 6 vértices, o poliedro dual é o cubo que tem 6 faces.