Question

Euler descreveu duas fórmulas para Seno e Cosseno, são elas :
$seno = \frac{ {e}^{xi} - {e}^{ -xi} }{2i}$
$cosseno = \frac{ {e}^{xi} + {e}^{ - xi} }{2}$
Qual a demonstração dessas fórmulas?​

Answer 1

Olá Kaio!

Explicação passo-a-passo:

Assim como na outra tarefa que você postou, faremos uso da Fórmula de Euler. Lembremo-nos:

$\\ \displaystyle \texttt{Seja} \ \mathtt{\theta \in \mathbb{R}}, \texttt{ent\~ao vale a identidade} \\\\ \boxed{\mathtt{e^{i\theta} = \cos \theta + i \cdot \sin \theta}}$

Isto posto, notemos que:

$\displaystyle \mathtt{e^{i\theta} = \cos \theta + i \cdot \sin \theta} \Rightarrow \boxed{\mathtt{e^{- i\theta} = \cos \theta - i \cdot \sin \theta}}$

Com efeito, resolvendo o sistema formado pelas equações, em destaque acima, tiramos que:

$\diplaystyle \begin{cases} \mathsf{e^{i\theta} = \cos \theta + i \cdot \sin \theta} \\\\ \mathsf{e^{- i\theta} = \cos \theta - i \cdot \sin \theta}\end{cases} \\\\ \mathsf{e^{i\theta} + e^{- i\theta} = 2 \cdot \cos \theta} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{- i\theta}}{2}}}}$

Por fim, determinamos $\displaystyle \mathtt{\sin \theta}$ substituindo $\displaystyle \mathtt{\cos \theta}$ na Fórmula de Euler. Veja:

$\displaystyle \mathsf{e^{i\theta} = \cos \theta + i \cdot \sin \theta} \\\\ \mathsf{e^{i\theta} = \frac{e^{i\theta} + e^{- i\theta}}{2} + i \cdot \sin \theta} \\\\ \mathsf{2e^{i\theta} = e^{i\theta} + e^{- i\theta} + 2i \cdot \sin \theta} \\\\ \mathsf{2i \cdot \sin \theta = e^{i\theta} - e^{- i\theta}} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{\sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{- i\theta}}{2i}}}}$