Question

A matriz inversa de A pode ser calculada por meio da equação

Answer 1

Nesta expressão, podemos calcular a matriz inversa de A através de sua matriz adjunta. A matriz adjunta é obtida calculando os cofatores e os determinantes menores de seus elementos.

O determinante menor de um elemento é obtido calculando o determinante da matriz sem a linha e coluna daquele elemento, os cofatores são dados por (-1)^(i+j).

Os elementos da matriz adj(A) serão chamados de bij:

$b_1_1 = (-1)^{1+1}. det\left[\begin{array}{cc}2&2\\5&3\end{array}\right] = 1.(6 - 10) = -4\\b_1_2 = (-1)^{1+2}. det\left[\begin{array}{cc}4&2\\2&3\end{array}\right] = (-1).(12 - 4) = -8\\\\b_1_3 = (-1)^{1+3}. det\left[\begin{array}{cc}4&2\\2&5\end{array}\right] = 1.(20 - 4) = 16$

$b_2_1 = (-1)^{2+1}. det\left[\begin{array}{cc}1&3\\5&3\end{array}\right] = (-1).(3 - 15) = 12\\b_2_2 = (-1)^{2+2}. det\left[\begin{array}{cc}2&3\\2&3\end{array}\right] = 1.(6 - 6) = 0\\\\b_2_3 = (-1)^{2+3}. det\left[\begin{array}{cc}2&1\\2&5\end{array}\right] = (-1).(10 - 2) = -8$

$b_3_1 = (-1)^{3+1}. det\left[\begin{array}{cc}1&3\\2&2\end{array}\right] = 1.(2 - 6) = -4\\b_3_2 = (-1)^{3+2}. det\left[\begin{array}{cc}2&3\\4&2\end{array}\right] = (-1).(4 - 12) = 8\\\\b_3_3 = (-1)^{3+3}. det\left[\begin{array}{cc}2&1\\4&2\end{array}\right] = 1.(4 - 4) = 0$

A matriz adjunta de A e seu determinante são:

$adj(A) = \left[\begin{array}{ccc}-4&-8&16\\12&0&-8\\-4&8&0\end{array}\right] \\det(adj(A)) = 1024\\det(A) = 32$

Utilizando os valores, temos:

$A^{-1} = \dfrac{1}{32}\left[\begin{array}{ccc}-4&-8&16\\12&0&-8\\-4&8&0\end{array}\right]\\A^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{8}&-\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\\\frac{3}{8}&0&-\frac{1}{4}\\-\frac{1}{8}&\frac{1}{4}&0\end{array}\right]$