Question

$lim \frac{ |x| - 4}{ {x}^{2} - 16} com \: x \: tendendo \: a - 4$
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Answer 1

Pretendemos calcular o valor do limite:

$\lim\limits_{x\to-4}\dfrac{|x|-4}{x^2-16}.$

Ao substituir diretamente $x=-4$, obtemos:

$\dfrac{|-4|-4}{(-4)^2-16} = \dfrac{4-4}{16-16} = \dfrac{0}{0} \to \textrm{indetermina\c{c}\~{a}o}.$

Vamos então manipular a fração algebricamente para obter o valor do limite. Primeiro, usamos o caso notável da diferença de quadrados para fatorizar o denominador:

$x^2-16 = x^2-4^2 = (x-4)(x+4).$

Para o numerador, recordamos que o a função módulo é definida do seguinte modo:

$\displaystyle |x| = \begin{cases}x, & \textrm{se } x \geq 0 \\ -x, & \textrm{se } x < 0\end{cases}.$

Como pretendemos, neste caso, calcular o limite quando $x\to-4<0$, podemos substituir $|x|$ por $-x$, pois isto é válido numa vizinhança de $-4$.

Assim, podemos então reescrever a fração na forma:

$\dfrac{|x|-4}{x^2-16} = \dfrac{-x-4}{(x-4)(x+4)} = -\dfrac{x+4}{(x-4)(x+4)} = -\dfrac{1}{x-4},$

sendo a simplificação final válida para $x\neq -4$.

Podemos, por fim, calcular o valor do limite:

$\lim\limits_{x\to-4}\dfrac{|x|-4}{x^2-16} = -\lim\limits_{x\to-4} \dfrac{1}{x-4} = - \dfrac{1}{-4-4} = \dfrac{1}{8}.$