Question

pretende-se tirar uma foto com os alunos Glauber, Kevin, Ramon , Ricardo e Eduardo um ao lado do outro.
mas Glauber e Ramon não querem ficar um ao lado do outro, de quantas formas diferentes se pode tirar essa foto?​​

Answer 1

Temos 5 alunos para tirar a foto.

A ordem dos alunos durante a foto tem influencia direta no numero de maneiras diferentes que essa foto pode ser tirada, logo podemos utilizar arranjos para este calculo.

São 5 alunos para 5 posições, logo:

$Numero~de~Maneiras~=~A_{5,5}\\\\\\Numero~de~Maneiras~=~\frac{5!}{(5-5)!}\\\\\\Numero~de~Maneiras~=~\frac{5!}{0!}\\\\\\Numero~de~Maneiras~=~\frac{120}{1}\\\\\\\boxed{Numero~de~Maneiras~=~120~maneiras~diferentes}$

Note, no entanto, que, dentre estas 120 formas diferentes, há formas onde Glauber e Ramon estão juntos, um evento indesejado, segundo o texto.

Vamos então determinar quantas dessas 120 formas Glauber e Ramon aparecem juntos.

Para isso, vamos considerar Glauber e Ramon como uma única pessoa e, sendo assim, temos agora 4 pessoas para a foto.

$^{Formas~com~Glauber}_{~~e~Ramon~juntos}~=~A_{4,4}\\\\\\^{Formas~com~Glauber}_{~~e~Ramon~juntos}~=~\frac{4!}{(4-4)!}\\\\\\^{Formas~com~Glauber}_{~~e~Ramon~juntos}~=~\frac{4!}{0!}\\\\\\^{Formas~com~Glauber}_{~~e~Ramon~juntos}~=~\frac{24}{1}\\\\\\\boxed{^{Formas~com~Glauber}_{~~e~Ramon~juntos}~=~24~formas}$

Ainda, em cada uma dessas 24 formas, Glauber e Ramon podem trocar de lugar entre si, ou seja, hora Glauber pode estar `a esquerda de Ramon, hora à direita.

Para "corrigir" isso, basta multiplicarmos por 2 o resultado achado, logo temos 24 x 2 = 48 formas das 120 onde Glauber e Ramon aparecem juntos.

Com isso, basta subtrairmos:

$^{~~Total~de~Maneiras~com}_{Glaber~e~Ramon~separados}~=~120~-~48\\\\\\\boxed{^{~~Total~de~Maneiras~com}_{Glaber~e~Ramon~separados}~=~72~formas}$