Question

Um fazendeiro decidiu construir um cercado retangular usando um dos lados

apoiado em um galpão (fig.1). Sabendo que ele fará três linhas de arame farpado.

Contudo para efeito de cálculo usaremos como referência apenas uma linha de

arame com 200 metros.

Calcule o valor dos lados desse retângulo que produzem a área máxima.

Answer 1

Os valores dos lados desse retângulo que produzem a área máxima são: x = 50 metros e y = 100 metros.

Inicialmente, vamos escrever as equações que podemos utilizar para calcular a área e o perímetro da cerca. A área é resultado do produto entre as duas medidas, X e Y, enquanto o perímetro é igual ao somatório das medidas, equivalente a 200 metros.

$200=2x+y\\ \\ A=xy$

Vamos isolar o valor de Y na equação do perímetro e substituir na equação da área. Dessa maneira, vamos ter uma função apenas com a incógnita X. Vamos derivar essa nova função e igualar a zero para determinar o valor de X máximo.

$y=200-2x\\ \\ A=x(200-2x)=200x-2x^2\\ \\ A'=200-4x=0\\ \\ x=50 \ metros$

Com esse valor de X, podemos determinar o valor de Y que também maximiza o retângulo. Portanto:

$y=200-2\times 50\\ \\ y=100 \ metros$