Question

URGENTEEEE , em cada item para quais valores de x o logaritmo está definido?​

Answer 1

A) $x$ está definido para $x>1$

B) $x$ está definido para $- 3<x<1$

C) $x$ está definido para $- x>-8$

D)

A função logaritmo é definida pela seguinte equivalência:

$b^y=x \implies Log_bx=y$ onde b é positivo.

Por esta definição, vemos que $x$ não pode ser negativo e nem zero. Se for negativo teremos que $b^x=-y$. Isto é absurdo. (caso reste dúvida, procure um número X tal que $2^x$ é negativo e verá que não existe)

E $y=0$ apenas quando$x$ tende a infinito.

Sejam então os seguintes logaritmos:

A) $Log\dfrac{1}{x+1}$

Para qualquer $x<1$, o argumento do logaritmo $\dfrac{1}{x+1}$ é negativo e, por isso, $Log\dfrac{1}{x+1}$ não está definido para $x<1$

Para $x=1$ Temos um problema de divisão por zero. Por isso a função não pode ser definida neste ponto.

Não há problema nos pontos $x>1$

B) $Log(-x^2+2x+3)$

O argumento do logaritmo é $- x^2+2x+3$

Note primeiro que a concavidade desta parábola está voltada pra baixo por causa do fator $- x^2$.

Isto quer dizer que a parábola cresce para baixo.

Vamos usar fatoração para determinar as raízes (pontos onde a função zera) desta função quadrática.

$- x^2+2x+3\\\\</p><p>-(x^2-2x-3)\\\\</p><p>-((x-3)(x+1))$

Como a função cresce para baixo, então os valores no intervalo aberto $(-3,1)$ são positivos.

Logo os valores onde o logaritmo está definido são os pontos entre menos um e mais três, exceto pelas extremidades.

Escrevemos então que $x$ está definido para $- 3<x<1$

C) $Log(x+8)$

Está é uma função linear. É fácil ver que $x+8=0$ quando $x=-8$.

Para todo valor maior do que $- 8$. Teremos o logaritmo definido.

Escrevemos então que o logaritmo está definido para $x>-8$

D) $Log(x^2-9)$

A função quadrática $x^2-9$ tem concavidade para cima e raízes $\{- 3,3\}$

Por ter concavidade para cima e raízes distintas, sabemos que o vértice é negativo.

Então, a função está definida para os valores $- \infty <x<-3$ e $3<x<infty$