Question

A- Os valores de p(n),N(n) e u(n),em função de n
B- A soma dos elementos da 48°.linha da tabela ​

Answer 1

Letra A)

Perceba que o primeiro termo p(n) é sempre igual a n, ou seja p(n) = n.

É perceptível que o número de termos de cada linha é sempre um número ímpar. Sabe-se que a primeiro linha tem 1 (um) termo, a segunda tem 3 (três) termos, a terceira 5 (cinco) termos, e assim vai. Perceba que a quantidade de termos cresce segundo uma P.A. (Progressão Aritmética) de razão 2 (dois) e primeiro termo a1 = 1. Com isso, temos que o número de termos N(n) da n-ésima (ou enésima) linha será o enésimo termo da P.A. (1, 3, 5, ..., N(n)). Logo:

N(n) = 1 + (n - 1)2 =>

N(n) = 1 + 2(n - 1) =>

N(n) = 1 + 2n - 2 =>

N(n) = 2n + 1 - 2 =>

N(n) = 2n - 1 (n é um número natural maior ou igual a unidade)

Sabemos que cada linha é uma P.A. de primeiro termo coincidindo com a numeração da linha (p(n) = n) e também é sabido que cada uma delas tem uma quantidade de termos igual ao dobro do termo inicial, diminuído de uma unidade (N(n) = 2n - 1). Com isso, a enésima linha tem primeiro termo p(n) = n, número de termos N(n) = 2n - 1 e ela também é uma P.A. Logo, o seu último termo u(n) será dado por:

u(n) = p(n) + [(2n - 1) - 1] =>

u(n) = n + (2n - 2) =>

u(n) = n + 2n - 2 =>

u(n) = 3n - 2

Letra B)

Cada linha é uma P.A. de primeiro termo p(n) = n, número de termos N(n) = 2n - 1 e último termo (enésimo) u(n) = 3n - 2. Assim sendo, vamos encontrar uma fórmula para o cálculo da soma dos termos da n-ésima linha n.

S(n) = N(n)/2[p(n) + u(n)] * =>

S(n) = (2n - 1)/2[n + (3n - 2)] =>

S(n) = (2n - 1)(4n - 2)/2 =>

S(n) = 2(2n - 1)(2n - 1)/2 =>

S(n) = (2n - 1)²

* Fórmula da soma dos n termos de uma P.A. finita (limitada)

E isso implica que a soma dos elementos da 48° (quadragésima oitava) linha é:

S(48) = [2(48) - 1]² =>

S(48) = (96 - 1)² =>

S(48) = 95²

Abraços!