Question

Seja a função f (x) = x2 – bx + c, em que f (1) = 3 e f (-1) = 15. Calcule b, c e o valor da expressão f (2) + 2 . f (3).

Answer 1

A questão se trata de funções, mas na realidade veremos que é um problema de sistemas lineares. Vamos começar a estudar a função.

Temos a função quadrática

$f(x) = x^2-bx+c$

Sabemos pelo enunciado que

$f(1) = 3\\f(-1) = 15$

Ou seja,

$f(1) = 1^2-1\times b+c = 3\\f(-1) = (-1)^2-(-1)\times b +c = 15$

$1-b+c = 3 \implies c-b = 2\\1+b+c = 15 \implies c+b = 14$

E então vem o sistema linear que mencionei:

$\left \{ {{c-b\: = \:2} \atop {c+b \:=\: 14}} \right$

Somando uma expressão com a outra:

$c-b+c+b = 2+14$

$2c = 16 \implies c = 8$

Encontramos c, falta b, que encontraremos substituindo em uma das equações (pegarei a de cima)

$c-b = 2$

$8-b = 2 \implies b = 6$

Portanto, a função f é

$f(x) = x^2-6x+8$

Por fim, obteremos f(2)+2*f(3):

Calcularemos f(2) e f(3) primeiro:

$f(2) = 2^2-6\times2+8 = 4-12+8 = 0$

$f(3) = 3^2-6\times3+8 = 9-18+8 = -1$

$\therefore f(2)+2\times f(3) = 0 +2\times(-1) = -2$

Assim, f(2)+2*f(3) = -2