Question

㏒ (x²-1) na base 1/2 > ㏒ (3x+9) na base 1/2

Answer 1

Resposta:

S = {x ∈ $\mathbb{R}$ | x > 5}

Explicação passo-a-passo:

Primeiramente, calcularemos as condições de existência.

x² - 1 > 0

x² > 1

x > √1

x > 1

3x + 9 > 0

3x > -9

x > -9/3

x > -3

Como x precisa ser maior que - 3 e que 1, basta dizer que x precisa ser maior que 1, pois assim irá satisfazer toda e qualquer condição de existência.

Agora, resolvendo a inequação logarítmica, temos:

log 1/2 (x² - 1) > log 1/2 (3x + 9)

Como os dois logaritmos têm bases iguais, podemos eliminá-los e ficar somente com x² - 1 > 3x + 9. Assim, temos:

x² - 1 > 3x + 9

x² - 3x - 1 - 9 > 0

x² - 3x - 10 > 0

Δ = b² - 4ac

Δ = (-3)² - 4.1.(-10)

Δ = 9 + 40

Δ = 49

x > (-b ± √Δ)/2a

x > (-(-3) ± √49)/2.1

x > (3 ± 7)/2

x' > (3 + 7)/2 ⇒ x' > 10/2 ⇒ x' > 5

x'' > (3 - 7)/2 ⇒ x'' > -4/2 ⇒ x'' > -2

Pelas condições de existência, calculadas no início da questão, vimos que era necessário que x fosse maior que 1. Assim, concluímos que x > 5 é a solução da inequação dada.

S = {x ∈ $\mathbb{R}$ | x > 5}