Question

Seja F a função quadrática dada por f(x)=x²-(k+2)x+(2k+4). Sabendo que os zeros de F são diferentes e que um zero é o dobro do outro, determine o valor de K, com K e Z, e dos zeros dessa função.​

Answer 1

O valor de k, com k ∈ Z, é 7 e os zeros dessa função são 3 e 6.

Como temos uma função quadrática, então vamos utilizar a fórmula de Bhaskara.

Sendo assim, temos que:

Δ = (-k - 2)² - 4.1.(2k + 4)

Δ = k² + 4k + 4 - 8k - 16

Δ = k² - 4k - 12.

$x = \frac{k+2+-\sqrt{\Delta}}{2}$

$x'=\frac{k+2+\sqrt{\Delta}}{2}$

$x''=\frac{k+2-\sqrt{\Delta}}{2}$.

De acordo com o enunciado, um zero é o dobro do outro.

Então, podemos considerar que x' = 2x''.

Então:

$\frac{k+2+\sqrt{\Delta}}{2}=2\frac{k+2-\sqrt{\Delta}}{2}$

k + 2 + √Δ = 2(k + 2 - √Δ)

k + 2 + √Δ = 2k + 4 - 2√Δ

2k - k + 4 - 2 - 2√Δ - √Δ = 0

k + 2 - 3√Δ = 0

k + 2 = 3√Δ

9Δ = (k + 2)².

Inicialmente, calculamos o valor de delta. Então, substituindo-o na expressão acima:

9(k² - 4k - 12) = (k + 2)²

9k² - 36k - 108 = k² + 4k + 4

8k² - 40k - 112 = 0.

k = -2 ou k = 7.

Entretanto, não podemos ter k = -2, pois assim teremos a função

f(x) = x² - (-2 + 2)x + (2.(-2) + 4)

f(x) = x² - 0x + (-4 + 4)

f(x) = x².

Tal função não tem dois zeros diferentes.

Portanto, o valor de k é 7.

Assim, teremos a função f(x) = x² - 9x + 18.

Substituindo o valor de k no valor Δ = k² - 4k - 12, obtemos:

Δ = 7² - 4.7 - 12

Δ = 49 - 28 - 12

Δ = 9.

Logo, as raízes são:

$x' = \frac{7+2+\sqrt{9}}{2}=\frac{9+3}{2}=6$

$x''=\frac{7+2-\sqrt{9}}{2}=\frac{9-3}{2}=3$.