Uma palavra é formada por N vogais e N consoantes. De quantos modos distintos podem ser permutadas as letras dessa palavra, de modo que não apareçam juntas duas vogais ou duas consoantes?
Respostas
Para que não apareçam juntas duas vogais ou duas consoantes, precisaremos de um número de 2* (n!)²
Vamos aos dados/resoluções:
Começamos a questão, sabendo que tem que separar as vogais das consoantes para ficar fácil de observar o que se desenvolve.
Como são N consoantes e N vogais, vamos usar um número igual para exemplo. Neste usaremos 4 vogais e 4 consoantes ( V C V C V C V C )
As consoantes irão mudar de lugar entre elas, então, não vai ocupar o lugar de uma vogal, o que eu quero dizer é que, vamos permutar as consoantes:
P4 = 4!
Faremos o mesmo com as vogais e teremos:
P4 = 4!
Para cada vogal que mudamos de lugar (com as consoantes fixas) teremos um anagrama diferente.
A F E G I V O R é diferente de E F I G O V A R, por isso multiplicaremos P4 * P4 = P4²
logo, se trocar consoante por vogal, ficará:
V C V C V C V C = P4².
C V C V C V C V = P4².
Se somarmos as duas, teremos 2* P4²
Agora que compreendeu, vamos fazer para N.
Permutação de vogal : PN!
Permutação de Consoante : PN!
A multiplicação fica PN!*PN! = n!*n! = (n!)²
Finalizando então, só trocar consoantes com vogais, que dará 2*(n!)²
espero ter ajudado nos estudos, bom dia :)