Question

Determine a soma para as equações diferenciais que seguem:

$a) xy^2 \frac{dy}{dx} =x+1\\\\b)\frac{dy}{dx} =\frac{\sqrt{x} }{e^y}$

Answer 1

Resolvendo estas EDO por separaçã ode variaveis, temos:

A) $y=\sqrt[3]{\frac{3x^2}{2}+3ln(x)+C}$

B) $y=ln(\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+C)$

Explicação passo-a-passo:

Estas são questões de sepração de variaveis, vamos resolver uma a uma:

A) temos a EDO:

$xy^2\frac{dy}{dx}=x+1$

Vamos passar x dividindo para um lado:

$y^2\frac{dy}{dx}=\frac{x+1}{x}$

E agora vamos aplicar a separaçã ode variaveis, passando dx multiplicando para a direita:

$y^2\frac{dy}{dx}=\frac{x+1}{x}$

$y^2dy=\frac{x+1}{x}dx$

$y^2dy=(\frac{x+1}{x})dx$

$y^2dy=(\frac{x}{x}+\frac{1}{x})dx$

$y^2dy=(x+\frac{1}{x})dx$

Agora basta integrarmos os dois lados indefinidamente:

$\int y^2dy=\int (x+\frac{1}{x})dx$

$\frac{y^3}{3}=\frac{x^2}{2}+ln(x)+C$

Onde C é uma constante de integração. E assim temos a nossa solução:

$y=\sqrt[3]{\frac{3x^2}{2}+3ln(x)+C}$

B) Da mesma forma a EDO:

$\frac{dy}{dx}=\frac{\sqrt{x}}{e^y}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{x^{\frac{1}{2}}}{e^y}$

Passando a exponencial para a esquerda multiplicando:

$e^y\frac{dy}{dx}=x^{\frac{1}{2}}$

Agora executando a separação de variaveis:

$e^y\frac{dy}{dx}=x^{\frac{1}{2}}$

$e^ydy=x^{\frac{1}{2}}dx$

E integrando os dois lado indefinidamente:

$\int e^ydy=\int x^{\frac{1}{2}}dx$

$e^y=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+C$

Aplicando logaritmo natural dos dois lados, temos nossa solução:

$y=ln(\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+C)$