Question

Considerando os vetores v1 = (x1, y1) e v2 = (x2, y2) do espaço vetorial V = R2. Verificar
quais das funções F : V × V → R, definidas abaixo, são produtos internos em V .
a) F(v1, v2) = x1 · x2 + x1 · y2 + x2 · y1 + 2y1 · y2
b) F(v1, v2) = x1 · x2 − y1 · y2

Answer 1

Para saber o produto interno de dois vetores, vamos supor que temos dois vetores A e B, onde A(a1,a2) e B(b1,b2). O produto interno entre eles é dado por:

                                    a1·b1 + a2·b2

Para calcular o produto interno temos que saber de algumas propriedades:

• 1º) <v1,v2>=<v2,v1>?
• <v1,v2>=
• <(x1,y1),(x2,y2)>=
• =x1*x2+x1*y2+x2*y1+2*y1*y2
• <v2,v1>=
• <(x2,y2),(x1,y1)>=
• =x2*x1+x2*y1+x1*y2+2*y2*y1

Ambos são iguais, logo a primeira propriedade está comprovada.

Agora devemos testar para:

• 2ª) <a*v1,v2>=a*<v1,v2>
• 3ª) <v1+v3,v2>=<v1,v2>+<v3,v2>
• 4ª) <v1,v1> ≥0
• 5ª) <v1,v1>=0 <=> v1=(0,0).