Question

um poliedro convexo tem 30 faces. de 12 de seus vértices partem 5 arestas e dos demais partem 3 arestas de cada um. quantas são as arestas desse polímero?

Answer 1

O poliedro possui 60 arestas.

Como de 12 vértices partem 5 arestas, então temos um total de 12.5 = 60 arestas.

Como dos demais vértices partem 3 arestas, então temos um total de (V - 12).3 = 3V - 36 arestas.

Sendo assim, o total de arestas é igual a:

A = 60 + 3V - 36

A = 3V + 24.

Entretanto, cada aresta é contada duas vezes. Então, devemos dividir o total de arestas por 2:

A = (3V + 24)/2.

A Relação de Euler nos diz que V + F = A + 2.

De acordo com o enunciado, existem 30 faces.

Então:

V + 30 = (3V + 24)/2 + 2

2V + 60 = 3V + 24 + 4

2V + 60 = 3V + 28

3V - 2V = 60 - 28

V = 32.

Portanto, o total de arestas é igual a:

A = (3.32 + 24)/2

A = (96 + 24)/2

A = 120/2

A = 60.