Question

Se um triângulo retângulo tem α como um de seus ângulos agudos e sen α = 5/13. Desta forma, se x = cos α + tg α, podemos afirmar que x está no intervalo: 

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Answer 1

Utilizando relações fundamentais de trigonometria, temos que o valor de x é aproximadamente 1,339.

Explicação passo-a-passo:

Então temos o valor do seno de alfa que é:

$sen(\alpha)=\frac{5}{13}$

Podemos facilmente descobrir o cosseno deste angulo também utilizando esta relação fundamental de senos e cossenos:

$sen^2(\alpha)+cos^2(\alpha)=1$

Substituindo o valor que temos para seno:

$sen^2(\alpha)+cos^2(\alpha)=1$

$(\frac{5}{13})^2+cos^2(\alpha)=1$

$(\frac{25}{169})+cos^2(\alpha)=1$

$cos^2(\alpha)=1-(\frac{25}{169})$

$cos^2(\alpha)=\frac{169}{169}-(\frac{25}{169})$

$cos^2(\alpha)=\frac{169-25}{169}$

$cos^2(\alpha)=\frac{144}{169}$

$cos(\alpha)=\sqrt{\frac{144}{169}}$

$cos(\alpha)=\frac{\sqrt{144}}{\sqrt{169}}$

$cos(\alpha)=\frac{12}{13}$

Agora que também já sabemos o cosseno, podemos encontrar a tangente, pois:

$tg(\alpha)=\frac{sen(\alpha)}{cos(\alpha)}$

$tg(\alpha)=\frac{\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}}$

$tg(\alpha)=\frac{5}{12}$

Agora que temos o cosseno e tangente podemos voltar para x:

$x=cos(\alpha)+tg(\alpha)$

$x=\frac{12}{13}+\frac{5}{12}$

Tirando MMC para soma-los:

$x=\frac{144}{156}+\frac{65}{156}$

$x=\frac{144+65}{156}$

$x=\frac{209}{156}$

$x=1,339$

Assim temos que o valor de x é aproximadamente 1,339.