Question

Determine o número complexo z tal que z²= 21+20i

Answer 1

Utilizando multiplicação complexa e sistema de equações, temos que nosso número z é 5+2i.

Explicação passo-a-passo:

Então queremos encontrar z, que tem o seguinte formato geral:

$z=a+bi$

E sabemos que:

$z^2=21+20i$

Então vamos fazer z² e ver se conseguimos descobrir o valor de a e b:

$z^2=(a+bi)(a+bi)=a^2+b^2(i)^2+2abi$

$z^2=(a+bi)(a+bi)=a^2-b^2+2abi$

E como sabemos que esta equação é igual ao valor que já temos de z², então vamos igualar:

$a^2-b^2+2abi=21+20i$

Note que a parte real tem que ser igual a parte real, e a parte imaginaria igual a parte imaginaria, então:

$a^2-b^2=21$

$2abi=20i$

Assim simplificando a segunda equação temos:

$a^2-b^2=21$

$ab=10$

Temos duas equações e duas incognitas, mas neste caso, podemos usar substituição, ou simplesmente deduzir a resposta de cabeça, pois é bem simples, só parar para pensar:

Quais dois números "a" e "b", tal que a diferença dos seus quadrados é igual a 21, e o produto entre os dois é 10?

Após pensar um ponto é facil de ver que a=5 e b=2, pois:

$5^2-2^2=25-4=21$

$5.2=10$

Então temos que nosso número z é 5+2i.