Question

Obtenha a inversa:

a) A = $\left[\begin{array}{cc}3&2\\1&4\end{array}\right]$

b) D = $\left[\begin{array}{cc}4&4\\8&0\end{array}\right]$

Answer 1

a) A inversa da matriz é:

$A^{-1}= \begin{bmatrix} \frac{2}{5}& \frac{-1}{5}\\</p><p>\frac{-1}{10} & \frac{3}{10}</p><p>\end{bmatrix}$

b) A inversa é:

$D^{-1}= \begin{bmatrix} 0& \frac{1}{8}\\</p><p>\frac{1}{4} & \frac{-1}{8}</p><p>\end{bmatrix}$

Segue a explicação:

a) Seja $A^-1= \begin{bmatrix} a & b\\</p><p>c & d</p><p>\end{bmatrix}$ tal que:

$\begin{bmatrix} 3 & 2\\1&4 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a & b\\</p><p>c & d</p><p>\end{bmatrix} = </p><p>\begin{bmatrix} 1 & 0\\0&1 \end{bmatrix} </p><p>$

Dessa igualdade, segue o sistema:

$\begin{cases} 3a+2c=1\\ </p><p>a+4c=0\\</p><p>b+4d=1\\</p><p>3b+2d=0</p><p>\end{cases}$

Resolvendo-o, obtemos $a=\frac{2}{5}, b=\frac{-1}{5}, c = \frac{-1}{10} \text{ e } d = \frac{3}{10}$

Isto é,

$A^{-1}= \begin{bmatrix} \frac{2}{5} & \frac{-1}{5}\\ \frac{-1}{10} & \frac{3}{10} \end{bmatrix}$

Como também se verifica $A^{-1} \cdot A = I_{2},$ então $A^{-1}$é a matriz inversa de A.

b) Da mesma forma, seja

$D^{-1}= \begin{bmatrix} a & b\\</p><p>c & d</p><p>\end{bmatrix}$ tal que

$\begin{bmatrix} 4 & 4\\8&0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a & b\\</p><p>c & d</p><p>\end{bmatrix} = </p><p>\begin{bmatrix} 1 & 0\\0&1 \end{bmatrix} </p><p>$

Obtemos o sistema:

$\begin{cases} 4a+4c=1\\ </p><p>4a+4d=0\\</p><p>8a=0\\</p><p>8b= 1</p><p>\end{cases}$

Desse sistema, vem que:

$a=0, b=\frac{1}{8}, c = \frac{1}{4} \text{ e } d = \frac{-1}{8}$

Como também se verifica $D^{-1} \cdot A = I_{2},$ então $D^{-1}$ é a matriz inversa de D.