Question

A cascata de uma piscina, foi ligada de forma que esta libera um volume de água, conforme vai alterando o tempo de escoamento.
Se a água de uma piscina está sendo escoada e V (t) = 150(30 − t) ² litros é o volume de água na piscina t minutos após o escoamento ter começado. Apresente no gráfico a velocidade com que a água flui da piscina em:
a) A taxa média segundo a qual a água deixa a piscina durante os primeiros 5 min.
b) Quão rápido a água está fluindo da piscina 5 min após o início do escoamento.
c) Em 5, 6, 7 e 8 minutos após o escoamento ter começado;

Answer 1

Utilizando taxas de variações e derivadas, temos que:

a) A média foi de 8250 L/minuto que foram escoados.

b) A água esta fluindo a 7500 L por minuto.

c) As vazões são respectivamente, 7200 L/min, 6900 L/min e 6600 L/min.

Explicação:

Então temos a velocidade de escoamento da água na pscina:

$V(t)=150.(30-t)^2$

Com isso vamos as questões:

a) A taxa média segundo a qual a água deixa a piscina durante os primeiros 5 min.

Para tirarmos a média, basta acharmos a diferença de quanto de água havia no inicio (Tempo 0) e quanto havia no final (tempo em 5 minutos), e dividirmos por 5 minutos:

$V(0)=150.(30-0)^2=150.900=135000$

$V(5)=150.(30-5)^2=150.625=93750$

Agora a média:

$\frac{V(0)-V(5)}{5}=\frac{135000-93750}{5}=\frac{41250}{5}=8250$

Assim a média foi de 8250 L/minuto que foram escoados.

b) Quão rápido a água está fluindo da piscina 5 min após o início do escoamento.

Agora se queremos exatamente quanto de água sai por minuto, exatamente no minuto 5, então temos que utilizar a derivada da função volume, que será exatamente a variação de volume por tempo:

$V(t)=150.(30-t)^2$

$\frac{V(t)}{dt}=150.\frac{d.(30-t)^2}{dt}$

Utilizando regra da cadeia:

$\frac{V(t)}{dt}=150.2.(30-t).(-1)$

$\frac{V(t)}{dt}=-300.(30-t)$

Assim temos a derivada que é a taxa de variação, agora basta substituirmos t pelo tempo que queremos, que é 5 minutos:

$\frac{V(t)}{dt}=-300.(30-t)$

$\frac{V(5)}{dt}=-300.(30-5)$

$\frac{V(5)}{dt}=-300.(25)$

$\frac{V(5)}{dt}=-7500$

Assim a água esta fluindo a 7500 L por minuto.

c) Em 5, 6, 7 e 8 minutos após o escoamento ter começado;

Basta fazermos a mesma coisa que fizemos com aletra B), porém com t=6, t=7 e t=8:

$\frac{V(t)}{dt}=-300.(30-t)$

$\frac{V(6)}{dt}=-300.(30-6)=-300.24=-7200$

$\frac{V(7)}{dt}=-300.(30-7)=-300.23=-6900$

$\frac{V(8)}{dt}=-300.(30-8)=-300.22=-6600$

Assim as vazões são respectivamente, 7200 L/min, 6900 L/min e 6600 L/min.