Question

Calcular o valor de x, onde: x +(x/3)+(x/9)+.... = 6

Answer 1

Olá Maria :)
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➢ SUCESSÕES

$\mathsf{ \green{x} + \dfrac{\green{x}}{3} + \dfrac{\green{x}}{9} + \dots = 6}$

Observe que x é o fator comum, portanto coloque-o em evidência, matematicamente,

$\mathsf{ \green{x}\left(1 + \dfrac{1}{3} + \dfrac{{1}}{9} + \dots \right) = 6}$

Perceba que temos uma progressão geométrica infinita, onde a₁ = 1 e a razão é $\mathsf{q = \dfrac{1}{3} }$. (qualquer dúvida em relação ao cálculo da razão comente nos comentários)

Deste modo, a soma infinita da progressão geométrica será definida por:

$\mathsf{S_n = \dfrac{a_1}{1 - q} }$
,como $\mathsf{|q| < 1}$

Logo,

$\mathsf{S_n = \dfrac{1}{1 - \dfrac{1}{ \green{3}} } }$
(qualquer dúvida em relação ao cálculo do m.m.c)

$\mathsf{S_n = \dfrac{1}{ \dfrac{1(\green{3}) -1}{ \green{3}} } }$

$\mathsf{S_n = \dfrac{1}{ \dfrac{2}{ \green{3}} } }$

$\mathsf{S_n = \dfrac{(1)\green{3} }{2} }$
(obs.: qualquer dúvida em relação a aplicação da fração d'uma fração deixe nos comentários :)

$\boxed{\boxed{ \mathsf{S_n = \dfrac{3 }{2} }}}}$

Deste modo, é só substituir, portanto teremos,

$\mathsf{ \green{x}\left(1 + \dfrac{1}{3} + \dfrac{{1}}{9} + \dots \right) = 6}$

Logo,

$\mathsf{ \green{x} \cdot \left( S_n \right) = 6}$

$\mathsf{ \green{x} \cdot \left( \dfrac{3}{2} \right) = 6}$

$\mathsf{ 3 \green{x} = 12}$

$\boxed{\boxed{\mathsf{x = 4}} }} \end{array}\qquad\checkmark$

Espero ter colaborado!
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Óptimos estudos :)