Question

uma lamborgini percorre uma estrada de 38000 m, onde neste trecho, esta sendo medida a velocidade dos veículos. a lamborguini percorre a primeira metade do percusso com velocidade de 195km/h, sendo a velocidade-limite permitida é de 80km/h. qual deve ser sua velocidade media na segunda metade do techo?

Answer 1

Esse é um caso em temos velocidades diferentes em dois espaços iguais. Portanto, podemos utilizar a equação: $vm = \frac{2.v1.v2}{v1 + v2}$

Onde vm = 80 km/h, v1 = 195 km/h e v2 é o que queremos descobrir. Substituindo os dados do exercício na equação:

$80 = \frac{2.195.v2}{195 + v2}$

$80 = \frac{390.v2}{195 + v2}$

$80.(195 + v2)= 390.v2$

$8.(195 + v2) = 39.v2$

$1560 + 8.v2 = 39.v2\\ 39.v2 - 8.v2 = 1560 \\ 31.v2 = 1560$

$v2 = \frac{1560}{31}$

v2 ≅ 50,32 km/h

Portanto, essa será a resposta:

A velocidade média na segunda metade do trecho deverá ser de 50,32 km/h, aproximadamente.

Mas, de onde vem essa equação?

Para não ficar um método decorativo, vou demostrar como chegamos a essa equação. Primeiro, a velocidade média de um percurso é a razão entre a variação de espaço e a variação do tempo. Ou seja, se fôssemos manter a velocidade constante durante todo o percurso e percorrê-lo em determinado tempo, a velocidade média é esse valor constante.  

vm = Δs/Δt  

Vamos supor que temos dois espaços iguais a x,  que serão percorridos, respectivamente, com velocidade v1 e v2.

Primeiro trecho:

x

v1

Segundo trecho:

x

v2

Observe, que para obtermos algo por meio da equação da velocidade média, precisamos encontrar o tempo de cada trecho. Então, vamos usar a equação da velocidade média em cada trecho, para depois poder aplicá-la de modo global e encontrar a velocidade média nos dois trechos.

Se vm = Δs/Δt  => Δt = Δs/vm

Primeiro trecho:

t1 = $\frac{x}{v1}$

Segundo trecho:

t2= $\frac{x}{v2}$

Note que, quando possuímos valores numéricos, podemos substituir nessa etapa e, em seguida, fazer a velocidade média entre os dois trechos. Mas, como estou dando um exemplo genérico, vamos seguir com incógnitas.

Bom, considerando que partimos de: t0 = 0 e s0 = 0

vm = Δs/Δt = sf - si/tf - ti

vm = $\frac{sf}{tf}$ (i)

Bom, o espaço final será a soma dos dois espaços que percorremos:

sf = x + x

sf = 2x

E o tempo final será a soma dos dois tempos, o de cada trecho:

tf = t1 + t2 = $\frac{x}{v1}$ +  $\frac{x}{v2}$

Vamos deixar os dois da mesma fração:

$\frac{v2.x + v1.x}{v1.v2}$

Agora, substituindo na equação (i):

$vm = \frac{2x}{\frac{v2.x + v1.x}{v1.v2}}$

Copiando "o primeiro" e dividindo pelo "inverso do segundo":

$vm = \frac{2x.v1.v2}{{v2.x + v1.x}}$

Colocando o x em evidência:

$vm = \frac{2x.v1.v2}{{x(v1 + v2)}}$

Chegamos na nossa equação da velocidade média em dois trechos iguais percorridos com velocidades diferentes:  $vm = \frac{2.v1.v2}{{(v1 + v2)}}$

Espero ter ajudado. :)

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