Question

Dados as medidas a=11m, b=10m e c=9m de um triângulo ABC
Determine a Área e as medidas das alturas
( POR FAVOR EXPLICA COMO CHEGO ATÉ A RESPOSTA )
Nenhum vídeo aula me fez entender

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Podemos resolver essa questão facilmente aplicando a fórmula de Heron. A área de um triângulo é dada por:

$A = \sqrt{q(q-a)(q-b)(q-c)}$ (fórmula de Heron)

onde q é o semiperimentro ($q=\frac{(a+b+c)}{2}=15$)

Logo,

$A=\sqrt{15(15-11)(15-10)(15-9)}\\A=\sqrt{15\cdot4\cdot5\cdot6}\\A=\sqrt{1800}\\ A=30\sqrt{2}\ cm^2$

A área de um triângulo também é dada por

$A=\frac{b\cdot h}{2}$

Perceba que o nosso triângulo possui três bases (b), então poderemos encontrar três alturas relativas as três bases.

Portanto, como já sabemos a área do nosso triângulo (A), tem-se

altura (h) relativa a base 'a'

$A=\frac{b\cdot h}{2}\Rightarrow 30\sqrt{2} =\frac{11\cdot h}{2}\Rightarrow h=\frac{60\sqrt{2}}{11}$

altura (h) relativa a base 'b'

$A=\frac{b\cdot h}{2}\Rightarrow 30\sqrt{2}=\frac{10\cdot h}{2}\Rightarrow h=6\sqrt{2}$

altura (h) relativa a base 'c'

$A=\frac{b\cdot h}{2}\Rightarrow 30\sqrt{2}=\frac{9\cdot h}{2} \Rightarrow h=\frac{20\sqrt{2}}{3}$

Answer 2

Considere que o lado maior a=11 é uma base.Então uma altura referente a essa base chamo de h,e ela divide o triângulo ABC em dois triângulos retângulos no ponto N de INTERSECÇÃO da altura h com o lado a .
Chamando de ABN e ACN os dois,podemos aplicar o teorema de Pitágoras neles dois
mas antes considere o lado a dividido em dois segmentos .BN=m e CN=n
1) c²=m²+h². 2)b²n²+h². 3) a=m+n
Com esse sistema do 2° de 3 Equações com 3 incógnitas a questão pode ser resolvida pois vamos precisar aplicar a fórmula da área
S= ah/2
Resolvendo o sistema

Explícita h² nas equações 1 e 2 e iguala
1) h1)²=c²-m².2) h1)²=b²-n². ( 1)=(2)
c²-m²=b²-n² arrumando fica
m²-n²=c²-b². De produto Notáveis vem que
m²-n² " a diferença entre dois quadrados é igual ao produto da soma pela diferença"
(m+n)(m-n)=c²-b²=9²-10². 11(m-n)=81-100
m-n=(-19)/11. Agora temos essa é m+n=11
sistema do 1° grau
Soma as duas Eq.: m+n=11 com m-n=-19/11,
vem que

2m=11-19/11=(121-19)/11=102/11 m=51/11

Agora já posso achar a altura em (1)=(2)

h1=[(9)²-(51/11)²]½ h1 =[((99)²-(51)²)/(11)²]½

99²=( 100)²-199=10000-199=9801 2601
2601
51²=2601

h1=((7200/11(11))½=( 10)6)(2)½/11

h1=60(2)(½)/11.

Então a área mede S =ah(1)/2

S =11(60)/(11))(2)½. S =30(2)½

A primeira altura é igual a sessenta sobre onze vezes raíz de dois

Bom aluno, as outras duas alturas deixo como um exercício para você resolver se tiver entendido o que expus aqui, observe que cada altura divide o lado oposto em dois segmentos cuja soma é justamente a dimensão dada de cada lado então falta aplicar para as alturas dos lados 10 e 9.


Independente disto a área será a mesma. TRINTA VEZES RAIZ DE DOIS. OK

Existe ainda pelo menos dois outros modos de solução onde se admite a inscrição de um círculo e a determinação do raio dele através de uma fórmula única .Este raio vai permitir achar um dos ângulos internos do triângulo e conseqüentemente as alturas e área

Resposta

h1=(60/11)(2)½

S=30(2)½