Question

Dadas as equações cartesianas das retas r : (n+1)x+4y=5 e s : 2x+(n-1)y=c. Encontre as equações paramétricas das retas r e s respectivamente e determine os valores de n e c tal que as retas sejam coincidentes?

Obss.: Com desenho, se tiver, por favor.
Disciplina de Geometria Analítica

Answer 1

Então temos as duas retas:

r: $(n+1)x+4y=5$

s: $2x+(n-1)y=c$

Para que duas retas sejam coincidentes é necessario que a forma reduzida delas seja exatamente igual. (Não confunda com retas concorrentes, onde só se encontram em um ponto, neste caso elas são completamente iguais).

Assim vamos reduzir cada uma destas retas:

r: $(n+1)x+4y=5$

$4y=5-(n+1)x$

$y=-\frac{n+1}{4}x+\frac{5}{4}$

Agora vamos para a outra reta:

s: $2x+(n-1)y=c$

$(n-1)y=-2x+c$

$y=-\frac{2}{n-1}x+\frac{c}{n-1}$

Agora vamos novamente comparar as dua equações:

r: $y=-\frac{n+1}{4}x+\frac{5}{4}$

s: $y=-\frac{2}{n-1}x+\frac{c}{n-1}$

Se queremos que estas duas sejam iguais, então:

$-\frac{n+1}{4}=-\frac{2}{n-1}$

E

$\frac{5}{4}=\frac{c}{n-1}$

Assim podemos encontrar n e depois usar para encontrar c:

$-\frac{n+1}{4}=-\frac{2}{n-1}$

Multiplicando cruzado:

$\frac{n+1}{4}=\frac{2}{n-1}$

$(n+1)(n-1)=4.2$

$n^2-1=8$

$n^2=9$

$n=\pm 3$

Assim temos duas soluções para n, n=3 e n=-3, vamos ter que encontrar um solução de c para os dois casos:

$\frac{5}{4}=\frac{c}{n-1}$

Supondo n=3:

$\frac{5}{4}=\frac{c}{3-1}$

$\frac{5}{4}=\frac{c}{2}$

$\frac{5.2}{4}=c$

$\frac{10}{4}=c$

$c=\frac{10}{4}$

$c=\frac{5}{2}$

Assim para n=3, c=5/2.

Agora vamos testar para n=-3:

$\frac{5}{4}=\frac{c}{-3-1}$

$\frac{5}{4}=\frac{c}{-4}$

$\frac{5.-4}{4}=c$

$c=\frac{5.-4}{4}$

$c=\frac{-20}{4}$

$c=-5$

Assim para n=-3, temos c=-5.

Então efetuando os calculos, temos dois possíveis pares de solução:

Solução 1: n=3 , c=5/2.

Solução 2: n=-3 , c=-5.

Utilizando estes valores encontrados podemos encontrar as parametrizadas retas em si.

Para n=3 e c=5/2:

r: $y=-\frac{n+1}{4}x+\frac{5}{4}$

s: $y=-\frac{2}{n-1}x+\frac{c}{n-1}$

r: $y=-x+\frac{5}{4}$

s: $y=-x+\frac{5}{4}$

Onde para parametrizarmos esta equação, basta charmos y de t e isolarmos o x:

$y=t$

$x=-t+\frac{5}{4}$

Agora para n=-3 e c=-5:

r: $y=-\frac{n+1}{4}x+\frac{5}{4}$

s: $y=-\frac{2}{n-1}x+\frac{c}{n-1}$

r: $y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{4}$

s: $y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{4}$

Da mesma forma para parametrizar, chamamos y de t e isolamos o x:

$y=t$

$x=t-\frac{5}{2}$