Question

(MACKENZIE) Se i² = -1, então (1+i)(1+i)²(1+i)³(1+i)⁴
a) 2i b) 4i c) 8i d) 32i

Answer 1

Olá Daniel!

Resposta:

$\boxed{\mathtt{D}}$

Explicação passo-a-passo:

$\\ \displaystyle \mathsf{(1 + i) \cdot (1 + i)^2 \cdot (1 + i)^3 \cdot (1 + i)^4 =} \\\\ \mathsf{(1 + i)^{10} =} \\\\ \mathsf{\left [ (1 + i)^2 \right ]^5 =} \\\\ \mathsf{(1 + 2i + i^2)^5 =} \\\\ \mathsf{(1 + 2i - 1)^5 =} \\\\ \mathsf{(2i)^5 =} \\\\ \mathsf{32i^5 =} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{32i}}}$

Answer 2

O valor de (1 + i)·(1 + i)²·(1 + i)³·(1 + i)⁴ é:

d) 32i

Explicação:

Utilizaremos a seguinte propriedade da potenciação:

multiplicação de potências de mesma base => repete-se a base e somam-se os expoentes: a²·a³ = a²⁺³ = a⁵. Então:

(1 + i)·(1 + i)²·(1 + i)³·(1 + i)⁴ = (1 + i)¹⁺²⁺³⁺⁴ = (1 + i)¹⁰

Outra propriedade da potenciação:

potência de potência: repete-se a base e multiplicam-se os expoentes: (a²)³ = a²*³ = a⁶.

Então:

(1 + i)¹⁰ = [(1 + i)²]⁵

Desenvolvendo o produto notável, temos:

[(1 + i)²]⁵ = [1² + 2·i + i²]⁵

Já que i² = - 1, temos:

[1 + 2i - 1]⁵ = [2i]⁵

[2i]⁵ = 2⁵·i⁵ = 32·i²·i²·i = 32·(-1)·(-1)·i = 32·1·i = 32i

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