Question

A série numérica contida na figura é convengente. Determine a soma da série numérica. Conforme enunciado da questão abaixo

Answer 1

Começamos por reescrever a série na forma:

$\displaystyle\sum_{n\geq 1} 5 \times (-3)^{-n} = 5 \times \sum_{n\geq 1} (-3)^{-n} = 5 \times \sum_{n\geq 1} \left(-\dfrac{1}{3}\right)^n.$

Notamos agora que a série (repare-se que começa em $n=0$ e não em $n=1$!)

$\displaystyle\sum_{n\geq 0} \left(-\dfrac{1}{3}\right)^n$

é uma série geométrica de razão $r = -\dfrac{1}{3}$ que verifica $|r| < 1$. Portanto, podemos aplicar a fórmula da soma da série geométrica:

$\displaystyle\sum_{n\geq 0} \left(-\dfrac{1}{3}\right)^n = \dfrac{1}{1-r} = \dfrac{1}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)} = \dfrac{1}{\frac{4}{3}} = \dfrac{3}{4}.$

Basta agora notar que:

$\displaystyle\sum_{n\geq 0} \left(-\dfrac{1}{3}\right)^n = \left(-\dfrac{1}{3}\right)^0 + \sum_{n\geq 1} \left(-\dfrac{1}{3}\right)^n = 1 + \sum_{n\geq 1} \left(-\dfrac{1}{3}\right)^n,$

pelo que:

$\displaystyle\dfrac{3}{4} = 1 + \sum_{n\geq 1} \left(-\dfrac{1}{3}\right)^n \iff \sum_{n\geq 1} \left(-\dfrac{1}{3}\right)^n = -\dfrac{1}{4}.$

Por fim, obtemos:

$\displaystyle\sum_{n\geq 1} 5 \times (-3)^{-n} = 5 \times \left(-\dfrac{1}{4}\right) = -\dfrac{5}{4}.$

Answer 2

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

∑5(-3)⁻ⁿ = ∑5(-1/3)ⁿ =

n≥ 1            n≥1

p/ n = 1 ⇒ 5(-1/3)¹ = - 5/3

p/n = 2 ⇒ 5.(-1/3)² = 5. 1/9 = 5/9

p/n = 3 ⇒ 5(-1/3)³ = 5.(-1/27) = -5/27

PG(-5/27, 5/9, -5/27, ...)

PG infinita de razão q = 5/9: (-5/3)

q = 5/9 . (-3/5)

q = -3/9

q = -1/3

S = a₁ / (1 - q)

S = -5/3 : [1 -(-1/3)]

S = -5/3 :( 1 + 1/3)

S = -5/3 : (4/3)

S = -5/3 . 3/4

S = - 5/4