Question

utilize as propriedades de potência e radicais e encontre o valor x em cada caso​

Answer 1

Resposta:

O grande truque é igualar as bases nas igualdades. A partir daí, facará muito fácil operar equacionando diretamente os expoentes.

No exercicio a), por exemplo:

$(\sqrt{2}) ^{x} = 64$

Vamos fatorar $64$ até que ele fique na base $2$. Para isso ele precisará ser elevado a $6$. Enquanto isso, do lado esquerdo, vamos manipular algebricamente o termo para que ele saia da raiz e fique também na base $2$:

$(\sqrt{2}) ^{x} = 2^{6}\\(2^\frac{1}{2} ) ^{x} = 2^{6}\\2^\frac{1}{2} ^{x} = 2^{6}\\2^\frac{x}{2} = 2^{6}$

Agora é o momento em que podemos equacionar. Neste caso:

$x=12$

A mesma lógica é aplicada em todos os demais exercicios. Bora praticar!

b) Fatoramos $81$ em $3^{4}$. Mas como a base $\frac{1}{3}$  é o inverso de $3^{1}$, isto é, $3^{-1}$ (que aliás, também é uma forma conveniente nesse exercício de escrever $\frac{1}{3}$), então precisamos corrigir isso. Fazemos $\frac{1}{3} = 3^{-1}$. Agora somamos o expoente x com o -1 e obtemos $3^{x-1}$. Isto dará a equação $x-1=4$. Daí obtemos que $x=5$.

c) $(3^{x})^{x+1} = 3^{6}\\(3)^{x^{2} +x} = 3^{6}\\x^{2}+x-6=0\\S=\{-3,2\}$

d) $2^{2x+1}.(2^{2} )^{3x+1}=2^{3x-3}\\2^{2x+1}.2^{6x+2}=2^{3x-3}\\2^{8x+3}=2^{3x-3}\\8x+3=3x-3\\5x=-6\\x=\frac{6}{5}$

e) $(\sqrt{2} )^{3x-1}=(^3 \sqrt{16}  )^{2x-1}\\(2^{\frac{1}{2} })^{3x-1} = ( ^{3}\sqrt{2^{4} } )^{2x-1}\\(2^{\frac{1}{2} })^{3x-1} = (( 2^{4} )^{\frac{1}{3} } )^{2x-1}\\(2^{\frac{1}{2} })^{3x-1} = (2^{\frac{4}{3} })^{2x-1}\\2^{\frac{3x-1}{2} } = 2^{\frac{8x-4}{3} }$Nesse ponto, é melhor multiplicar ambos os lados pelo mmc das duas frações, neste caso, 6. Na prática, tudo se passa como se eu passasse os denominadores para o outro lado multiplicando. E assim ficará:

$9x-3=16x-8\\9x-16x=3-8\\-7x=-5\\x=\frac{-5}{-7}\\ x=\frac{5}{7}$