Respostas
A demonstração que sen(30) = cos(60) = 1/2 e sen(60) = cos(30) = √3/2 utilizando o triângulo equilátero está descrita abaixo.
A demonstração que sen(45) = cos(45) = √2/2 usando um quadrado também está descrita abaixo.
a) Um triângulo equilátero possui todos os ângulos internos iguais a 60º.
Além disso, a altura do triângulo equilátero divide a base ao meio e coincide com a bissetriz interna.
Observe a figura abaixo.
Vamos utilizar o teorema de Pitágoras para calcular o valor de h:
x² = h² + (x/2)²
x² = h² + x²/4
h² = 3x²/4
h = x√3/2.
Para calcular o seno, basta fazer a razão entre cateto oposto e hipotenusa.
Para o cosseno, é a razão entre cateto adjacente e hipotenusa.
Portanto:
sen(30) = x/2.1/x
sen(30) = 1/2.
cos(60) = x/2.1/x
cos(60) = 1/2
e
sen(60) = x√3/2.1/x
sen(60) = √3/2
cos(30) = x√3/2.1/x
cos(30) = √3/2.
b) No quadrado, temos que a diagonal forma dois triângulos retângulos isósceles.
A diagonal do quadrado é igual a d = x√2.
O valor do seno é igual a:
sen(45) = x/x√2
sen(45) = √2/2.
Já o valor do cosseno é igual a:
cos(45) = x/x√2
cos(45) = √2/2.
