Question

QUESTÃO 1
Sobre as figuras e elementos típicos do plano, tais como retas e circunferências, afirma-se:

I) Em (x - 1)² + (y - 1)² = 2, tem-se uma circunferência de centro (1,1) e de raio 2.
II) As retas “y + x – 1 = 0” e “2y – 2x +3 = 0” são perpendiculares.
III) As retas “y = 3x - 1” e “y = - x + 3” se interceptam no ponto (1,2).
IV) As circunferências “x² + y² = 1” e “(x - 1)² + y² = 4” se interceptam em (-1,0).

Texto elaborado pelo Professor, 2019.

Estão corretas:
Alternativas
Alternativa 1:
I, II e III, apenas.

Alternativa 2:
I, II e IV, apenas.

Alternativa 3:
I, III e IV, apenas.

Alternativa 4:
II, III e IV, apenas.

Alternativa 5:
I, II, III e IV.

Answer 1

Estão corretas II, III e IV, apenas.

Vamos analisar cada afirmativa.

I) A equação reduzida de uma circunferência é dada por (x - x₀)² + (y - y₀)² = r², sendo (x₀,y₀) o centro e r o raio.

Na equação (x - 1)² + (y - 1)² = 2, temos que o centro é (1,1) e o raio é √2.

Portanto, a afirmativa está errada.

II) O vetor normal da reta y + x - 1 = 0 é (1,1) e o vetor normal da reta 2y - 2x + 3 = 0 é (-2,2).

Calculando o produto interno entre os vetores, obtemos 1.(-2) + 1.2 = 0.

Como o resultado deu zero, então as retas são perpendiculares.

A afirmativa está correta.

III) Se o ponto (1,2) pertencer a ambas as retas, então elas serão concorrentes, pois pelas equações elas não são coincidentes.

Assim:

2 = 3.1 - 1 = 3 - 1 = 2

e

2 = -1 + 3 = 2.

A afirmativa está correta.

IV) Substituindo o ponto (-1,0) nas duas circunferências, obtemos:

(-1)² + 0² = 1 + 0 = 1

e

(-1 - 1)² + 0² = (-2)² + 0² = 4.

Portanto, o ponto pertence a ambas circunferências e a afirmativa está correta.