Question

Alternativas
Alternativa 1:
As duas asserções são proposições verdadeiras e a segunda é uma justificativa correta da primeira.

Alternativa 2:
As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa da primeira.

Alternativa 3:
A primeira asserção é uma proposição verdadeira e a segunda é falsa.

Alternativa 4:
A primeira asserção é uma proposição falsa e a segunda é verdadeira.

Alternativa 5:
Ambas as asserções são proposições falsas.

Answer 1

Começamos por analisar a 2.ª afirmação, bastando verificar que a derivação está correta. Uma vez que

$x(t) = c_1\textrm{e}^t + c_2\textrm{e}^{-t} + 2\sin t,\qquad\textrm{com }c_1, c_2 \in \mathbb{R},$

a primeira derivada é

$x'(t) = c_1\left(\textrm{e}^t\right)' + c_2\left(\textrm{e}^{-t}\right)' + 2\left(\sin t\right)' = c_1\textrm{e}^t - c_2\textrm{e}^{-t} + 2\cos t,$

enquanto a segunda derivada é:

$x''(t) = c_1\left(\textrm{e}^t\right)' - c_2\left(\textrm{e}^{-t}\right)' + 2\left(\cos t\right)' = c_1\textrm{e}^t + c_2\textrm{e}^{-t} - 2\sin t.$

Concluímos assim que a 2.ª afirmação é verdadeira.

Calculamos agora a diferença $x''(t) - x'(t)$:

$x''(t) - x'(t) = \left(c_1\textrm{e}^t + c_2\textrm{e}^{-t} - 2\sin t\right) - \left(c_1\textrm{e}^t - c_2\textrm{e}^{-t} + 2\cos t\right) =\\\\= c_1\textrm{e}^t + c_2\textrm{e}^{-t} - 2\sin t - c_1\textrm{e}^t + c_2\textrm{e}^{-t} - 2\cos t = 2c_2\textrm{e}^{-t} -2\sin t -2\cos t.$

Fica assim provado que, para a família de funções proposta, se tem:

$x''(t) - x'(t) = 2c_2\textrm{e}^{-t} -2\sin t -2\cos t \neq -2\sin t,$

pelo que não é solução geral da equação diferencial $x''(t)-x'(t) = -2\sin t$.

Concluímos assim que a 1.ª afirmação é falsa.

Resposta: Alternativa 4 → A primeira asserção é uma proposição falsa e a segunda é verdadeira.