Question

Qual a solução da equação diferencial dada por
9y'' + 9y' - 4y=0

Answer 1

Começamos por introduzir o operador derivação $\textrm{D}$ tal que:

$\textrm{D}y = y', \textrm{D}^2 = y'', \dots$

A equação diferencial pode ser reescrita na forma:

$9y'' + 9y' - 4y = 0 \iff 9\textrm{D}^2y + 9\textrm{D} -4 y = 0 \iff \left(9\textrm{D}^2+9\textrm{D}-4\right)y = 0.$

Fazendo agora $\textrm{D} \to \lambda$, obtemos o polinómio característico:

$p(\lambda) = 9\lambda^2+9\lambda-4.$

Podemos aplicar a fórmula resolvente para determinar os zeros de $p$:$9\lambda^2+9\lambda-4 = 0 \iff \lambda = \dfrac{-9 \pm \sqrt{9^2-4\times 9 \tmes (-4)}}{2\times 9} = \dfrac{-9\pm\sqrt{81+144}}{18} =\\\\= \dfrac{-9\pm\sqrt{225}}{18} = \dfrac{-9\pm 15}{18} \iff \lambda = \dfrac{-9-15}{18} = -\dfrac{4}{3}\textrm{ ou } \lambda = \dfrac{-9+15}{18} = \dfrac{1}{3}.$

Como são ambos zeros simples, as soluções serão geradas pelo conjunto:

$\left\{\textrm{e}^{\frac{1}{3}x}, \textrm{e}^{-\frac{4}{3}x}\right\},$

ou seja, a solução geral é:

$y(x) = a\textrm{e}^{\frac{1}{3}x} + b\textrm{e}^{-\frac{4}{3}x}, \quad \textrm{com } a, b \in\mathbb{R}.$