Dada a circunferência de equação x²+y²-mx-my+p=0, obtenha a relação entre m, n e p para que a circunferência tangencie os eixos.
Gabarito: |m|=|n| ≠ 0 ; m²=4p
Respostas
Resposta: |m| = |n|, com ambos distintos de 0 (zero) e m² = 4p
Explicação passo-a-passo:
Primeiramente, listarei (com o símbolo #) algumas fórmulas utilizadas ao longo da resolução da questão, bem como alguns teoremas indispensáveis para resolvê-la. Vamos à listagem:
# A equação canônica (forma padrão) ou reduzida (também chamada centro-raio) de uma circunferência centrada no ponto C = (x0, y0) e com raio r é dada por: (x - x0)² + (y - y0)² = r² *. Com isso, sua equação geral é obtida desenvolvendo o lado esquerdo da igualdade em * (primeiro membro da equação) e passando r² para o primeiro membro da igualdade (com sinal oposto). Assim sendo, sua equação, na forma geral, é dada por: x² - 2xx0 + x0² + y² - 2yy0 + y0² - r² = 0 <=> x² + y² - 2xx0 - 2yy0 + x0² + y0² - r² = 0 **. Na questão proposta, a equação está no formato geral **, com isso deve-se passá-la para a forma canônica *, com o intuito de encontrar explicitamente o seu centro C = (x0, y0) e o quadrado da medida de seu raio (r²). Sabe-se que x0 e y0 são, respectivamente, a abscissa e ordenada do ponto-centro da circunferência e r² é o quadrado do comprimento de seu raio r, que por sua vez deve ser um número real e positivo (r² > 0).
# Considere uma reta t qualquer que está representada em um sistema cartesiano ortogonal usual xOy e cuja equação, na forma geral, é dada por t: ax + by + c = 0, onde a, b e c são todos números reais, com a e b não simultaneamente nulos. Diz-que a reta t é tangente à circunferência * se, e somente se, o quadrado da distância do centro C dela à reta t: ax + by + c = 0 for igual ao quadrado do comprimento do raio r, ou seja: t é tangente a * <=> d²(C, t) = r².
# A fórmula utilizada para o cálculo da distância entre o ponto C = (x0, y0) à reta t: ax + by + c = 0 é dada por: d²(C, t) = (ax0 + by0 + c)²/(a² + b²).
Listadas todas as fórmulas e definições necessárias, podemos ir à resolução do exercício proposto. A equação proposta no enunciado está na forma geral, então devemos passá-la para a forma reduzida (canônica). Desenvolvendo, ficaremos com:
x² + y² - mx - ny + p = 0 =>
x² - mx + y² - ny + p = 0 =>
x² - 2x(m/2) + m²/2² + y² - 2y(n/2) + n²/2² + p = m²/2² + n²/2² =>
(x - m/2)² + (y - n/2)² + p = m²/4 + n²/4 =>
(x - m/2)² + (y - n/2)² = m²/4 + n²/4 - p ***
Está provado que a equação x² + y² - mx - ny + p = 0 equivale a ***. Na equação *** está explícito que o seu centro será o ponto C = (m/2, n/2) e o quadrado do raio r² = m²/4 + n²/4 - p. Desejamos que a circunferência de equação *** tangencie os eixos coordenados, portanto surgem as seguintes relações:
A reta x = 0, que equivale a x + 0y + 0 = 0 é tangente à circunferência (x - m/2)² + (y - n/2)² = m²/4 + n²/4 - p se, e somente se, d²(C, x) = r² (i)
A reta y = 0, que é equivalente a 0x + y + 0 = 0 é tangente à circunferência (x - m/2)² + (y - n/2)² = m²/4 + n²/4 - p se, e somente se, d²(C, y) = r² (ii)
De (i) temos:
d²(C, x) = r² =>
(m/2 + 0 + 0)²/1² = r² =>
m²/4 = r² =>
4r² = m² (iii)
De (ii) temos:
d²(C, y) = r² =>
(0 + n/2 + 0)²/1² = r² =>
n²/4 = r² =>
4r² = n² (iv)
Subtraindo (iv) de (iii), ou seja, fazendo (iii) - (iv) temos:
4r² - 4r² = m² - n² =>
0 = m² - n² =>
m² = n² (v)
De (iii) e (iv) sabe-se que 4r² = m² e 4r² = n², respectivamente. O raio r é sempre um número real positivo, jamais podendo ser nulo (igual a zero), logo r² também será sempre positivo. Se r² é positivo (r² > 0), então 4r² também o será (4r² > 0). Provando que m² e n² serão sempre positivos (m² > 0 e n² > 0) e obviamente não nulos. Assim sendo, a expressão (v) torna-se:
m² = n² =>
|m| = |n| e ambos distintos de 0 (Bateu o gabarito!)
De (iv) temos 4r² = n², o que equivale a r² = n²/4. De *** temos que r² = m²/4 + n²/4 - p, com isso basta igualar r² com r². Igualando, ficaremos com:
r² = r² =>
m²/4 + n²/4 - p = n²/4 =>
m²/4 - p = n²/4 - n²/4 =>
m²/4 - p = 0 =>
m²/4 = p =>
m² = 4p (vi) (Bateu o gabarito!)
Perceba que a condição m² = 4p também faz com que r² = m²/4 + n²/4 - p seja maior que zero. Verificando:
r² = 4p/4 + n²/4 - p =>
r² = p - p + n²/4 =>
r² = n²/4 e (n² > 0 <=> n²/4 > 0) =>
r² > 0
Provando que não existem falhas ao fazer m² = 4p.
Finalmente encontramos as condições a serem satisfeitas, que por sua vez são dadas por:
|m| = |n| e ambos distintos de 0
e
m² = 4p
Abraços!