Question

Quanto vale a soma dos angulos internos de todas as faces de um poliedro convexo constituido de 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais?

Answer 1

Podemos determinar a soma dos ângulos internos de um polígono utilizando a equação:

$S_i~=~(n-2)~.~180^\circ$

Onde "n" é o numero de lados do polígono.

Sendo assim, para podermos calcular o que é pedido, precisamos primeiramente determinar quanto vale a soma dos ângulos internos de um pentágono e de um hexágono.

Para o Pentágono (polígono de 5 lados):

$S_i~=~(5-2)~.~180^\circ\\\\\\S_i~=~3~.~180^\circ\\\\\\\boxed{S_i~=~540^\circ}$

Para o Hexágono (polígono de 6 lados):

$S_i~=~(6-2)~.~180^\circ\\\\\\S_i~=~4~.~180^\circ\\\\\\\boxed{S_i~=~720^\circ}$

Somando os ângulos internos de todas 32 faces, temos:

$S_{i_{32\,faces}}~=~12~\times S_{i_{Pentagonais}}~+~20~\times S_{i_{Hexagonais}}\\\\\\S_{i_{32\,faces}}~=~12\times540^\circ~+~20\times720^\circ\\\\\\S_{i_{32\,faces}}~=~6480^\circ~+~14400^\circ\\\\\\\boxed{S_{i_{32\,faces}}~=~20880^\circ}$