Question

Mostre que 8|5^2n+7,∀n ∈N

Answer 1

Diz-se que $8$ divide $5^{2n}+7$ se existir um natural $m$ tal que $8m = 5^{2n}+7$, ou seja:

$8|5^{2n}+7 \iff \exists m\in\mathbb{N}: 8m = 5^{2n}+7.$

Podemos provar a propriedade por indução.

Para $n = 1$, temos:

$5^{2n}+7 = 5^{2\times 1}+7 = 25 + 7 = 32 = 8 \times 4,$

verificando-se trivialmente $8|32$ para $m=4$.

Passamos agora a provar que a propriedade é hereditária, ou seja, admitindo que a propriedade é verdadeira para um dado $n$, mostramos que implica a sua validade para $n+1$.

Assim, começamos por admitir que existe $m\in\mathbb{N}$ tal que:

$8m = 5^{2n}+7.$

Queremos agora provar que existe $m'\in\mathbb{N}$ tal que:

$8m' = 5^{2(n+1)}+7.$

Manipulamos a expressão de forma a obter o pretendido:

$5^{2(n+1)}+7 = 5^{2n}\times 5^2 + 7 = (\underbrace{5^{2n}+7}_{=8m}-7)\times5^2 + 7 = (8m - 7)\times 25 +7 =\\\\=25\times 8 m -\underbrace{168}_{=21\times 8} = 25\times 8 m - 21 \times 8 = 8\underbrace{\left(25m -21\right)}_{\equiv m'} = 8m',$

onde se utilizou que se $m$ é um natural, então $m'=25m-21$ também o é.

Fica assim provada a propriedade pretendida.