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Resposta: E = 6a² + 7ab - 20b² + 38bc - 17ac - 14c² = (2a + 5b - 7c)(3a - 4b + 2c)
Explicação passo-a-passo:
Primeiramente, mostrarei uma técnica utilizada por mim em fatorações desse tipo. Considere o produto genérico P de (xa + yb + zc) por (wa + fb + gc) ou seja, P = (xa + yb + zc)(wa + fb + gc) *. Desenvolvendo *, ficaremos com:
P = (xw)a² + (xf)ab + (xg)ac + (yw)ab + (yf)b² + (yg)bc + (zw)ac + (zf)bc + (gz)c²
Perceba que o produto P é uma soma de nove parcelas, sendo uma única para cada um dos termos quadráticos a², b² e c², e outras seis, onde duas destas contém o termo misto ab, duas o termo ac e o restante bc. Posto isto, temos que para que seja possível fatorar a expressão E = 6a²+ 7ab - 20b² + 38bc - 17ac - 14c², ela deve se transformar em uma soma de nove parcelas. Do produto P acima, concluímos que E deve ter duas parcelas com o termo misto ab, duas com o termo ac e duas com bc. Portanto, apenas deve-se mexer com as parcelas 7ab, 38bc e - 17ac de E, transformando-as cada uma em uma soma ou diferença de dois termos mistos com coeficientes convenientes e obviamente equivalentes a cada uma delas. É notório que nada será feito com as parcelas 6a², - 20b² e - 14c², pois cada uma delas figura-se uma única vez ao longo da expansão da forma fatorada de E. Tomando o produto genérico P como exemplo, vamos à fatoração da expressão E = 6a² + 7ab - 20b² + 38bc - 17ac - 14c². Com isso temos:
E = 6a² + 7ab - 20b² + 38bc - 17ac - 14c² =>
E = 6a² + 15ab - 8ab - 20b² + 28bc + 10bc - 21ac + 4ac - 14c² =>
E = 6a² - 8ab + 4ac + 15ab - 20b² + 10bc + 28bc - 21ac - 14c² =>
E = 2a(3a - 4b + 2c) + 5b(3a - 4b + 2c) - 7c(3a - 4b + 2c) =>
E = (2a + 5b - 7c)(3a - 4b + 2c)
Abraços!