Question

De um quadrado com lado medindo 9 unidades, deseja-se subtrair, de medida de seus lados, x unidades. Depois, deve-se calcular a diferença entra a área desse quadrado e a área de um quadrado de lado medindo 7 unidades. Nessas condições, chega-se à seguinte expressão:
(9-x)²-49
Pode-se concluir, corretamente, que a diferença desses dois corresponde a
a)(16-x) . (2-x)
b)(x+16) . (x+2)
c)-x²-31
d)32-x²
e)32+x²

Answer 1

Resposta: letra a)  (16-x) . (2-x)

Explicação passo-a-passo:

Partindo da expressão (9 - x)²- 49, vamos tentar reescreve-la.

primeiramente, vamos desenvolver essa expressão.

(9 - x)²- 49 = x² - 18x + 32

Temos, assim  um polinômio do segundo grau da forma  

                                   ax² + bx + c

                                  x² - 18x + 32

Como consequência do Teorema Fundamental da Álgebra, podemos fatorar esse polinômio de segundo grau segundo a forma

p(x) = a(x - x')( x - x"), no qual a é o coeficiente de x² e x' e x" são raízes da equação .

Vamos, então, encontrar os valores de x para os quais a expressão é zero  

x² - 18x + 32 = 0

Por soma e produto (Relações de Girard)

soma = -b/a

s = 18/1 = 18

produto  = c/a

p = 32/1 = 32

assim, temos que encontrar dois números que multiplicados dão 32 e somados dão 9.

x' . x" = 32 e x' + x" = 18

x'  = 16 e x" = 2

Desse modo,  (9 - x)²- 49 pode ser escrito como

a(x - x')( x - x") = 1(x - 16).(x -2)

Note que (x - 16).(x -2) é o mesmo que (16 - x) . (2 - x) da letra a).