Question

(Uespi) Para qual valor real e positivo de a, a soma dos
quadrados das raízes da equação x2 + ax + 12 é igual
a 25?

a)7
b)6
c)5
d)4
e)3​

Answer 1

Aplicando-se a equaçao de Bhaskara com a = 1, b = a e c = 12, obtém-se a expressao que representa as duas raízes da equaçao quadrática. Sendo elas:

$r_1 = \dfrac{-a + \sqrt{a^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1} = \dfrac{-a + \sqrt{a^2 - 48}}{2}$

e

$r_2 = \dfrac{-a - \sqrt{a^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1} = \dfrac{-a - \sqrt{a^2 - 48}}{2}$

A soma dos quadrados das raízes é 25:

$r_1^2 + r_2^2 = 25$

Substituindo:

$\left(\dfrac{-a + \sqrt{a^2 - 48}}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{-a - \sqrt{a^2 - 48}}{2}\right)^2 = 25$

Calculando os quadrados:

$\left(\dfrac{a^2 - 2 \cdot a \cdot \sqrt{a^2 - 48} + a^2 -48 + a^2 +2 \cdot a \cdot \sqrt{a^2 - 48} + a^2 - 48}{4}\right) = 25$

A parte com a raiz quadrada se anula. O resto fica:

$\dfrac{4 \cdot a^2 - 96}{4} = 25$

Passa o 4 multiplicando para o outro lado:

$4 \cdot a^2 - 96 = 100$

$4 \cdot a^2 = 100+96$

$4 \cdot a^2 = 196$

$a^2 = \dfrac{196}{4}$

$a = \pm \sqrt{\dfrac{196}{4}} = \pm \dfrac{14}{2} = \pm 7$

Como o enunciado pede apenas o valor positivo de a, a resposta é:

$\boxed{a = 7}$

Answer 2

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Sejam r e s as raízes

S = -b/a e P = c/a

r + s = -a/1 = -a

rs = 12/1 = 12

r² + s² = 25

Vamos completar o quadrado, somando 2rs aos dois membros

r² + 2rs + s² = 25 + 2rs

(r + s)² = 25 + 2.12

  ↓

 (-a)² = 25 + 49

a² = 49

a = √49

a = 7

Letra A