Question

Sobre as figuras e elementos típicos do plano, tais como retas e circunferências, afirma-se:

I) Em (x - 1)² + (y - 1)² = 2, tem-se uma circunferência de centro (1,1) e de raio 2.
II) As retas “y + x – 1 = 0” e “2y – 2x +3 = 0” são perpendiculares.
III) As retas “y = 3x - 1” e “y = - x + 3” se interceptam no ponto (1,2).
IV) As circunferências “x² + y² = 1” e “(x - 1)² + y² = 4” se interceptam em (-1,0).

Answer 1

As afirmativas II, III e IV estão corretas.

Vamos analisar cada afirmativa.

I) A equação reduzida de uma circunferência com centro em C = (x₀,y₀) e raio r é definida por (x - x₀)² + (y - y₀)² = r².

Na equação (x - 1)² + (y - 1)² = 2, temos que o centro é o ponto (1,1) e o raio é √2.

Portanto, a afirmativa está errada.

II) O vetor normal da reta x + y - 1 = 0 é (1,1) e o da reta -2x + 2y + 3 = 0 é (-2,2).

Calculando o produto interno entre os dois vetores, obtemos 1.(-2) + 1.2 = -2 + 2 = 0.

As retas são perpendiculares e a afirmativa está correta.

III) Vamos verificar se o ponto (1,2) pertence a ambas as retas.

Substituindo o ponto em y = 3x - 1, obtemos:

2 = 3.1 - 1 = 3 - 1 = 2.

Substituindo o ponto em y = -x + 3, obtemos:

2 = -1 + 3 = 2.

Portanto, o ponto pertence a ambas as retas e a afirmativa está correta.

IV) Substituindo o ponto (-1,0) na circunferência x² + y² = 1, obtemos:

(-1)² + 0² = 1 + 0 = 1.

Substituindo o ponto na circunferência (x - 1)² + y² = 4, obtemos:

(-1 - 1)² + 0² = (-2)² + 0 = 4 + 0 = 4.

Portanto, a afirmativa está correta.