Question

Analise os três quadrados representados na figura.

Considere que o lado de cada um destes três quadrados mede 1 unidade.

Se continuarmos com o processo de hachurar as áreas indefinidamente, de tal modo que a área da nova região hachurada seja sempre igual a 1/3 da área anterior, qual será a soma de todas as áreas hachuradas assim obtidas?

A) 1/2
B)2/3
C)5/9
D)7/9
E)1

Answer 1

Alternativa A) 1/2

A soma das regiões hachuradas (como mostrado na figura) é um caso de soma dos termos da pg infinita (1/3)$^n$

A soma de uma PG infinita é dada pela seguinte fórmula:

$S=\dfrac{a_1}{1-q}$

onde $a_1$ é o primeiro termo, que neste caso, é 1/3 e q é a razão.

Podemos verificar que a razão é 1/3 ao comparar o termo anterior com o posterior.

Conforme podemos ver na figura, temos:

figura 1 = 1/3

figura 2 = 1/3+1/9

figura 3 = 1/3+1/9+1/27.

Substituindo  os valores de a1 e de q na equação, descolbrimos que o resultado da soma será 1/2

$S=\dfrac{\dfrac{1}{3}}{1-\dfrac{1}{3}}=\dfrac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{2}{3}}=\dfrac{1}{3}\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{2}$