Question

De acordo com a figira a seguir, a circunferência de centro no ponto P é tangente á reta no ponto M e passa pela origem. O segmento OM é o diâmetro da circunferência. Escreva a equação geral dessa circunferência.

Answer 1

As coordenadas do ponto P:

P (xo,yo)

Sabemos que:

(x-xo)² + (y-yo)² = R²      -- nesse caso P = (xo,yo).

A equação da reta AB é: A = (0,4) B = (4,0):

a = 4-0/0-4 = -1 (coeficiente angular)

b = 4

f(x) = ax + b

f(x) = -1x + 4

Aplicando essa fórmula no ponto M (m,n):

n = -1m + 4

A equação da reta dos pontos P e O será:

a = yo/xo (coeficiente angular)

b = 0

f(x) = yo.x/xo + 0

O produto dos coeficientes angulares das retas OP e AB é -1. (propriedade de serem ortogonais).

yo/xo . (-1) = -1

-yo/xo = -1

yo = xo

Assim, temos que a reta cujos pontos são P (xo,yo) O (0,0) é:

a = yo/xo

f(x) = yo.x/xo => f(x) = xo.x/xo = x => f(x) = x

Essa equação é a bissetriz dos quadrantes ímpares (função identidade). Isso significa que cada ponto dessa equação tem coordenadas x = y.

Logo, o ponto M será: (m,m) ou (n,n)

Então: n = -1m + 4 => m = -1m + 4 => m + m = 4 => 2m = 4 => m = 2

Dessa forma, somos capazes de escrever:

A distância OP é igual a PM.

d(OP) = √((xo)²+(yo)²)

d(PM) = √((m-xo)²+(n-yo)²)

Sabemos que xo = yo e que m = n = 2, vamos igualar:

√((xo)²+(yo)²) = √((m-xo)²+(n-yo)²)

(xo)²+(yo)² = (m-xo)²+(n-yo)²

(xo)²+(yo)² = m²-2.m.xo + xo² + n²-2.n.yo + yo² (m = n, xo = yo)

0 = m² - 2m.xo + m² - 2.m.xo

0 = 2m² - 4m.xo

0 = 2.(2)² - 4.2.xo

0 = 8 - 8.xo

xo = 1

Dessa maneira, xo = yo = 1, descobrimos o ponto P (1,1). Substituindo na d(OP) = √((xo)²+(yo)²), achamos a d(OP) = Raio.

d(OP) = √((xo)²+(yo)²) = R = √1²+1² = R = √2 => R² = 2

Finalmente, temos que a equação da circunferência será:

Resposta: (x-1)² + (y-1)² = 2